수학교육과정과 교재연구 _ 함수
함수의 역사적 발달
1. 전함수 단계
(1) 바빌로니아, 그리스에서 발달
(2) 함수에 대한 논의는 없었으며, 주로 달, 태양, 행성, 성운 등 자연의 변화를 관찰하기 위한 함수표 등을 사용했다.
2. 기하적 함수 단계
(1) 함수의 개념은 여러 운동을 양적으로 수학화하려는 것에서 발생
(2) 함수에 대한 연구는 운동을 나타내는 곡선을 중심으로 곡선의 접선, 곡선 아래의 넓이, 곡선의 길이, 곡선을 따라 움직이는 점의 속도 등을 연구함
(3) 그래프를 강조 (중1)
3. 대수적 함수 단계
(1) 오일러가 f(x)라는 기호를 처음으로 사용
(2) 베르누이 - 함수는 변하는 것과 어떤 상수가 결합된 크기이다.
(3) 오일러 - 한 변수에 대한 함수는 어떤 방식으로든 변수와 수 또는 상수들이 결합되어 있는 해석적 표현이다.
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(4) 오일러 - 함수의 정의에서 변수를 제거하고자 함
' 만약 어떤 양이 다른 양에 종속된다면 전자를 후자의 함수라 부른다. ' → 독립변수와 종속변수에 대한 구분이 명확해짐
(5) 식을 강조 (중2)
4. 논리적 함수 단계
(1) 함수 개념이 두 변수가 대응이라는 논리적 조건에만 관련되어있다고 생각
(2) 디리클레 - 주어진 구간에서 x의 각 값에 y의 유일한 값이 대응할 때, y는 x의 함수
(3) 일가성과 임의성
① 일가성 : 정의역의 각 원소에 대해 치역의 단 하나의 원소가 대응된다.
② 임의성 : 함수는 특별한 표현에 의해 기술되거나 어떤 규칙성을 따르거나 어떤 특별한 형태를 가진 그래프에 의해 묘사될 필요가 없다.
(4) 대응에 의한 함수 정의 (고1)
5. 집합적 함수 단계
(1) 부르바키 - 집합론에 기초하여 '순서쌍의 집합의 부분집합'이 어떤 특정한 조건을 만족할 때 그 부분집합을 함수라 정의
함수의 여러 측면
1. 종속성 : 변하는 현상에서 두 변수 사이의 종속관계
2. 그래프 : 시각적 이미지
(1) 함수를 그래프로 생각하게 되면 연속적인 곡선은 함수로 받아들이지만 불연속적인 곡선은 함수로 받아들이지 못한다.
3. 공식 : 변수 사이의 종속 관계를 독립변수를 포함한 대수식으로 나타낸 것
(1) 함수를 공식으로 생각하게 되면 구간에 따라 두 개 이상의 공식으로 표현하는 함수나 임의의 대응이나 순서쌍으로 제시되는 함수를 이해하기 어렵다.
4. 행동 : 함수를 대상에 대한 반복 가능한 조작으로 인식
(1) 함수를 행동으로 생각하게 되면 구간에 따라 두 개 이상의 공식으로 표현하는 함수나 임의의 대응이나 순서쌍으로 제시되는 함수를 이해하기 어렵다.
5. 과정 : 함수를 대상의 입력, 변환, 출력의 처리 과정으로 보는 것
6. 대응
7. 순서쌍
8. 대상 : 함수 자체를 하나의 실체로 파악하는 것
프로이덴탈의 교수학적 현상학에 따른 함수지도
1. 교수학적 현상학 : 수학적 개념과 구조라는 본질을 그 본질이 정리 수단으로 작용하는 현상과 관련하여 기술하고 교수학적으로 적용하는 것
2. 다양한 함수 현상
(1) 증가 감소
(2) 포물선 운동
(3) 주기적 변화
(4) 지수적 성장
(5) 대응과 사상에 관련된 현상
ex) 닮음, 합동(축적에 의한 지도 확대, 축소)를 통해 함수의 합성과 역 이해
3. 교수학적 현상학에 따른 함수 지도
(1) 다양한 현상에 대한 직관적 경험을 제공하고, 학생들에게 그러한 현상에서 나타나는 종속성의 특성 (증가 감소, 비례, 주기적 변화 · · · )을 인식하게 한다.
(2) 종속성의 특성을 좀 더 구체적이고 분석적으로 다루기 위해 표, 그래프, 식과 연결해 특성을 명확화한다.
(3) 이를 바탕으로 구체적인 함수 이름에 해당되는 정비례와 반비례, 일차함수, 이차함수, 지수함수, 임의의 대응 등을 알게 한다.
(4) 함수에 대한 여러 경험을 바탕으로 함수가 무엇인지에 대한 논의를 통해 적절한 함수 개념을 도입한다.
크라벤담의 질적 접근에 따른 함수 그래프 지도
1. 그래프를 지도하는 방식의 분류 기준
(1) 그래프를 읽거나 그릴 때 초점을 어디에 두느냐
① 점별 접근 : 그래프를 해석할 때 한 점에만 초점을 두는 것
ex) 한 독립변수에 대한 종속변수의 값, 그 점의 종ㅇ속변수에 해당되는 독립변수의 값
② 국소적 접근 : 한 점의 근방에서 그래프의 변화를 보는 것
ex) 증가 감소, 극대 극소, 기울기, 불연속 점
③ 전체적 접근 : 특정 구간이나 전체 구간에 걸쳐 그래프를 해석하는 것
(2) 수치적인 값에 초점을 두느냐 그렇지 않느냐
① 양적 접근 : 정확한 수치 자료를 이용하여 좌표평면이나 좌표공간에 그래프를 그림으로써 변화의 특징을 설명하고 예측하는 것을 의미
② 질적 접근 : 어떤 상황을 수량화 되지 않은 상태로 개략적으로 표현하고 설명하는 것
2. 그래프 지도
(1) 그래프를 처음 다루는 단계에서는 비수치적이고 개략적인 그래프를 그려보고, 이를 해석하는 활동에 주목하는 질적접근으로 시작한다.
(2) 정교화 단계에서 수치적이고 좀 더 정확한 표현의 단계로 전환된다.
쟌비어의 번역 활동에 따른 함수 지도
1. 함수 표현 양식 간의 번역 활동
| 상황 · 언어적 표현 | 표 | 그래프 | 공식 | |
| 상황 · 언어적 표현 | 측정하기 : 문제 상황에서 측정한 결과를 표로 나타내기 |
그래프 개형 그리기 | 모델링 : 문제 상황에서 변수를 인식하여 기호화하고 관계를 찾아 문제해결하여 이를 문제 상황에 적합하게 해석하는 것 |
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| 표 | 읽기 | 점 찍기 | 공식 알아내기 : 측정한 결과에 알맞는 대수식 찾아보기 |
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| 그래프 | 해석하기 | 점의 좌표 읽기 | 곡선 알아내기 ex) y = x(a - x)의 그래프 보고 a 찾기 |
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| 공식 | 매개변수 인식하기 | 계산하기 | 그래프 개형 그리기 |
함수 학습의 인식론적 장애
1. 개념 정의와 개념 이미지
(1) 개념 정의 : 개념을 정확히 설명하는 언어적 정의
(2) 개념 이미지 : 개념과 정신적으로 관련된 성질, 과정, 심상들로 이루어진 인지구조
2. 인식론적 장애와 개념의 정의와 개념 이미지의 불일치에서 비롯되는 어려움
(1) 변하는 상황을 관찰하면서 변하는 대상이 무엇인지, 변하게하는 것이 무엇인지 명확히 파악하지 못하는 경향이 있다.
(2) 함수의 정의에서 독립변수와 종속변수의 비대칭성을 잘 인식하지 못한다.
→ 독립 변수에 의해 유일하게 결정되는 것이 종속변수이고 그 역은 성립하지 않는다.
(3) 함숫값은 독립변수를 따라 변화되어야 하는 것이라고 인식하는 경향이 있다.
→ 상수함수를 함수로 받아들이는 데 어려움이 생긴다.
(4) 함수를 체계적인 규칙이나 대수식으로 보는 경향이 있다.
→ 종속변수를 구하기 위해 독립변수에 실행된 조직이라고 보는 경우가 있다.
(5) 함수가 모든 정의역에서 한 가지 규칙이나 대수식으로 표현되어야 한다고 생각하는 경향이 있다.
→ 한 가지 이상의 규칙이나 대수식으로 표현된 함수를 받아들이는데에 어려움이 있다. 갑작스런 그래프상의 변화가 일어나면 함수가 아니라고 생각한다.
(6) 함수를 함수의 다양한 표현인 표, 그래프, 대수식 등과 동일시하는 경향이 있다.
→ 함수를 그래프와 동일시하면 (x,y)를 그래프 위의 이동하는 점이나 x축에서 (x,y)까지의 거리를 나타내는 선분으로 생각할 수 있다.
→ x가 y에 대응한다는 생각을 가지기 어렵다.
(7) 함수에서 중요한 변수의 개념을 이해하는 데에 어려움이 있다.
(8) 함수의 정의에서 나타나는 일가성, 일대일 함수, 일대일 대응의 의미를 혼동하기 쉽다.
교과서에서 함수 지도
1. 중학교 1학년 : 정비례
2. 중학교 2학년 : 함수 지도 내용 ( 종속의 관점, 종속성 강조)
일상생활의 상황을 통해 ' x, y와 같이 변하는 양을 나타내는 문자를 변수'라 하고
'변수 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계가 성립할 때 y를 x의 함수라 한다.' 와 같이 함수를 종속 관점에서 정의
3. 고등학교 1학년 : 함수 지도 내용 ( 대응의 관점, 임의적 대응 강조)
'두 집합 X, Y가 주어졌을 때, 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소를 짝지어 주는 것을 X에서 Y로의 대응'이라 설명하고
'집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소가 오직 하나씩만 대응 할 때, 이 대응f를 집합 X에서 집합 Y로의 함수라 하고, 이것을 기호로 f : X → Y와 같이 나타낸다.'와 같이 대응의 관점에서 정의한다.