수학교육과정과 교재연구 _수와 연산

수 개념의 발생

 

1. 수 개념의 추상화 ( 수는 어디에서 추상되는 것인가?)

(1) 경험론 : 수 개념은 사물 자체가 가지고 있는 본질적 특성으로 인간 의식이 그것을 포착하기만 하면 추상화될 수 있다.

  ① 수 개념 지도 방법 : 사물이나 그림을 관찰하여 개념을 얻게 한다.

  ② 문제점 : 학습자의 사고 활동이 사물이나 그림에 고착될 수 있다.

 

 (2) 관념론 : 수를 이루는 기초적인 개념을 인간이 선천적으로 타고났다.

  ① 수 개념 지도 방법 : 수를 표현하는 기호를 다루는 규칙을 익히는 것 만으로 학습 가능하다.

  ② 문제점 : 수 개념이 현실과 유리된 공허한 기호로만 학습될 수 있다.

 

 

2. 수 개념의 원천 : '측정 활동' (듀이)

 (1) 측정활동 : 모호한 전체를 명확한 전체로 만드는 과정 (전체를 단위로 분해한 후, 단위의 반복으로 전체를 재구성하는 것)

  ① 변별 (분석) : 대상들을 각각의 독립적인 개별자로 보는 것

  ② 관련짓기 (종합) : 대상들을 서로 관련된 통합체, 단일체로 인식하는 것

 

 (2) 산술 지도 방법 - 구성적 활동의 방법

 

  1단계 : 모호한 전체를 경험하는 단계 

    ※ 모호한 전체 : 명확히 규정될 필요가 있는 한정된 크기나 양

 

  2단계 : 측정을 위한 단위를 파악하는 단계

    ※ 단위 : 전체를 구성하는 데 도움이 되는 부분

 

  3단계 : 모호한 전체를 단위의 반복을 통해 표현함으로써 명확한 전체로 나타내는 단계

 

 (3) 고정 단위 방법에 대한 비판

  ① 개념 : 측정활동과 무관하게 단위를 사물에 내재한 성질로 규정하는 관점

  ② 비판

   ㉮ 분리된 단위에서 출발하기 때문에 전체를 부분으로 변별하는 분석 과정이 생략된다.

   ㉯ 전체를 절대적으로 분리된 것으로 보기 때문에 종합 과정이 불가능하다.

 

 

 

 

정수와 유리수

 

1. 음수의 역사적 발생

 (1) 음수의 도입 : 방정식 ax = b ( a ≠ 0 ) 의 일반적인 해법을 형식적으로 완성하기 위해 음수 도입

 

 (2) Hantel에 의한 음수 체계 획립 : 형식적 구조로 음수 개념을 이해하여 양수체계를 구성하는 원리들이 그대로 유지되도록 음수체계를 확장

 

 (3) 음수 개념과 관련된 인지장애

  ① 작은 수에서 큰 수를 빼는 것이 어떻게 가능한가?

  ② 작은 수를 제곱한 것이 어떻게 큰 수의 제곱보다 클 수 있는가?

  ③ 작은 수와 큰 수의 관계가 어떻게 큰 수와 작은 수의 관계와 같을 수 있는가?

  ④ (-4) x 3은 4달러를 3번 빌린 것으로 이해되지만 4 x (-3)은 직관적으로 아무런 의미가 없다.

 

 

2. 음수 지도를 위한 모델

 (1) 셈돌 모델

  ① 소멸법칙 : 검은 돌을 양수, 흰 돌을 음수라 할 때 검은 돌 하나와 흰 돌 하나는 같이 없앨 수 있다는 법칙

  ② 장점 : 덧셈과 뺄셈이 비교적 자유롭게 설명된다.

  ③ 단점 : 곱셈을 설명하기 위해서는 검 x 검 = 검, 흰 x 흰 = 검 이고 검 x 흰 = 흰, 흰 x 검 = 흰 이라는 규칙을 특별한 이유 없이 선언해야 한다.

 

 (2) 우체국 모델

  ① 개념 : 어음을 양수로, 고지서를 음수로 이해하고 덧셈은 가져오는 것, 뺄셈은 가져가는 것으로 이해하는 것.

  ② 장점  

    ㉮ 곱셈 설명 가능 : 피승수를 고지서와 어음, 승수를 가져온 것의 개수와 가져간 것의 개수로 해석

    ㉯ 일상적으로 일어나는 현상을 통해 음수 개념의 필요성 제기 

    ㉰ 실제적인 맥락에서 음수의 의미를 해석할 수 있는 상황을 제공한다.

  ③ 단점 : 나눗셈은 자연스럽지 않다.

 

 (3) 수직선 모델

  ① 덧셈, 뺄셈 : 화살표의 머리에 더하거나 뺄 수를 나타내는 화살표의 꼬리를 두되, 뺄셈의 경우 화살표 방향을 반대로 놓는다.

  ② 곱셈 : 반복되는 덧셈으로 설명한다. 이때 음수를 곱할 때는 음의 부호를 '방향을 바꾸는 것'으로 이해한다.

  ③ 나눗셈 : 반복되는 뺄셈을 통해 피제수를 나타내는 화살표를 원점으로 줄이는 과정으로 설명한다. 이때 줄이는 방향이 제수의 반대 방향일 때 그 결과를 양으로 간주한다.

 

  ④ 장점

    ㉮ 정수가 배열되는 방식이 순서구조를 그대로 유지하고 있어서 두 정수 사이의 대소관계는 다른 어떤 모델보다 잘 드러난다.

    ㉯ '크기' 외에도 '방향'이라는 요소를 잘 보여준다.

  ⑤ 단점 : 음의 부호가 다중적인 의미를 가진다. ( 음수 : 왼쪽방향, 뺄셈, 곱셈이나 나눗셈에서의 음수 : 반대방향)

 

 (4) 형식 불역의 원리

  ① 형식 불역의 원리에 따른 음수 지도 내용

    ㉮ 연산의 구조가 유지되도록 수체계를 확장해야 한다는 아이디어의 도입 - 귀납적 외삽법

3	+	2	=	5
3	+	1	=	4
3	+	0	=	3
3	+	(-1)	=	?
3	+	(-2)	=	?

3	x	2	=	6
3	x	1	=	3
3	x	0	=	0
3	x	(-1)	=	?
3	x	(-2)	=	?

 

      - 장점 : 정수의 곱의 부호가 결정되는 원리를 발견할 수 있다.  

 

   ㉯ 자연수의 덧셈, 곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 정수의 집합에서 성립하는 법칙으로 확장하는 것

2 + (-3) = ㅁ 라 하자  그러면	1 + 2 + (-3) = 3 + (-3) = 0 이므로	1 + ㅁ = 0	따라서 ㅁ = 1이다.
2 - 5 = ㅁ 라 하자 그러면	3 + 2 - 5 = 5 - 5 = 0 이므로	3 + ㅁ = 0	따라서 ㅁ = -3 이다.
2 x (-3) = ㅁ 라 하자 그러면	2 x (3 + (-3) ) = 2 x 0 = 0 이므로	2 x 3 + 2 x (-3) = 0  즉, 6 + ㅁ = 0	따라서 ㅁ = -6 이다.

 

  ② 형식 불역의 원리에 따른 지수 법칙 지도 내용

 

   ㉮ 지수가 자연수인 경우에서 정수인 경우로의 확장

 

   ㉯ 지수가 정수인 경우에서 유리수인 경우로의 확장

 

   ㉰ 지수가 유리수인 경우에서 실수인 경우로의 확장

 

 

 

3. 유리수 개념의 지도

 (1) 중학교에서 유리수 개념 : 분모, 분자가 자연수인 분수에 양의 부호와 음의 부호를 붙인 수 및 0 → (기약)분수로 나타낼 수 있는 수 ( 무리수를 배우고 난 후)

 

 (2) 개념 정의 방식

  ① 외연적 정의 : 개념에 포괄되는 전체 대상으로 정의

 

  ② 내포적 정의 : 개념에 포함되는 대상들의 속성으로 정의

 

  ③ 유리수의 외연적 정의의 문제점

    ㉮ 1/2 나 2/4 의 구체적인 발생 맥락을 알 수 없고, 어떤 구체적인 맥락에 적용되는 개념인지 설명하지 못한다.

    ㉯ 서로 다른 맥락에서 발생한 1/2 와 2/4가 어떻게 같은 의미를 가지게 되는지 설명하지 못한다.

 

 (3) 유리수 개념의 발생 맥락

  ① 전체와 부분의 관계

   : 전체를 같은 부분으로 나눴을 때의 전체와 부분의 관계를 나타내는 것

    1/3과 2/6은 동일한 양을 서로 다른 측도에 따라 전체와의 관계로 나타낸 것

 

  ② 분배 결과의 몫 

   : 어떤 주어진 양을 n개로 나누었을 때의 몫

 

  ㉮ 전체와 부분의 관계와의 비교 : 전체와 부분의 관계는 질적으로 동일한 두 양을 비교한 것을 의미하고 분배결과의 몫은 질적으로 다른 두 양사이의 관계를 표현

 

  ③ 비율

   : 외적인 상황이나 두 양의 값이 변함에도 불구하고 본질적으로 내재되어있는, 변하는 두 양 사이의 동일한 관계

 

  ④ 연산자

   : 곱셈의 연산자로 이해, 유리수 a/b를 유리수 집합 Q위에서 정의되는 함수 x → x(a/b)로 이해

 

 

 

집합과 논리

 

1. 자연수 개념과 집합론

 (1) 기수 : 일대일 대응이 가능한 두 집합을 대등하다 정의하고 '대등'이라는 동치관계에 대한 동치류들로서 각각의 자연수를 정의하는 것

 , 공집합의 기수로서 0을 도입하고 집합 M의 기수 m에 대하여 M에 속하지 않는 원소 x를 M에 첨가한 M∪{x} 의 기수로서 m+1을 정의한다.

 

(2) 서수 : 자연수가 0, 1, 2, 3, · · · 이라는 수열을 형성

 

2. 무한의 개념

 (1) 실무한 : 무한을 존재하는 실제로 여기는 입장에서의 무한

 (2) 가능적 무한 : 무한을 가능성으로만 생각하는 입장에서의 무한

 

 

 

 

수와 연산 교수 학습 실제

 

1. 유한소수를 순환소수로 나타내는 것을 다루지 않는 이유

 (1) 0 = 0.000··· 에 대응하는 소수가 없으므로 실수와 무한소수 사이의 1대1 대응이 성립하지 않게 된다.

 (2) 나눗셈 알고리즙에 따르면 '임의의 정수 a,b (>0)에 대하여 a=bq+r, 0≤r<b인 정수 q, r이 단 한 쌍 존재한다.'인데 이에 맞지 않는다.

   ex) 1÷2=0.5가 되어야 하는데, 0.4999 ··· 도 될 수 있다고 하면 문제가 발생한다.

 (3) 급수 개념으로 인해 중학교 수준에서 지도하기 어렵다.

 (4) 사칙계산을 지도하기 어렵다.

 

2. 무리수 지도

 (1) 무리수 도입

  ① 유리수를 소수로 나타내면 유한소수 또는 무한소수의 형태이다.

  ② 유한소수로 나타낼 수 없는 유리수는 항상 순환소수인 무한소수로 나타낼 수 있다.

  ③ 역으로, 유한소수 또는 순환소수는 항상 분수로 나타낼 수 있으므로 유한소수가 된다.

   → 유리수와 그 수를 유한소수나 순환소수로 나타낼 수 있다는 것이 동치가 되므로 순환소수로 나타낼 수 없는 무리수가 존재함을 보인다. (직관적으로)

'√2'

1.96<2<2.25 → 1.4< √2<1.5

→

1.9881<2<2.0164 →1.41< √2<1.42

···

→

···

√2는 순환하지 않는 무리수이다.