수학교육과정과 교재연구 _ 미적분

미분과 적분 교수 · 학습 관련 연구 

 

1. 극한과 연속에 대한 개념 정의와 개념 이미지

 

 (1) 개념 이미지 : 개념과 정신적으로 관련된 모든 성질, 과정, 심상으로 이루어진 인지구조

 (2) 개념 정의 : 개념에 대해 정확하게 설명하는 언어적 정의

 

 (3) 개념 정의와 개념 이미지가 상호작용하는 방식

 

  ① 정의와 이미지의 상호작용 : 인지과제가 입력되면 개념 정의를 먼저 떠올리게 된다. 이러한 개념 정의가 개념 이미지와 상호작용하게 되고 이를 토대로 인지과제를 해결하기 위해 개념정의로 출력되는 형태

 

  ② 완전 형식적 연역 : 인지과제가 입력되면 개념 이미지를 거치지 않고 형식적으로 개념 정의만을 거쳐 내보내는 형태

  → 학습의 이해가 수반되지 않는 기계적인 암기 학습에 의해 발생할 수 있다.

 

  ③ 직관적 사고를 따른 연역 : 인지과제가 입력되었을 때 개념 이미지를 바로 떠올리는 직관적인 사고를 따르는 경우로 개인의 사적인 개념 정의에 근거하여 직관적으로 떠오르는 개념 정의를 출력하는 형태

 

  ④ 직관적 반응 : 인지과제를 해결하기 위해 개념이미지만을 거쳐 출력해내는 직관적인 반응이 일어나는 형태

 

2. 극한 개념의 인지적 장애 예시 ( 개념 이미지에 의한 오류)

 

 (1) 

 

과 같은 교대수열은 1로 수렴하지만, 진동하는 수열의 개념 이미지를 먼저 떠올리게 되면서 '교대 수열은 진동하기 때문에 극한값이 없다.' 고 잘못 생각하게 된다.

 

 (2)

 

의 극한값은 1.01 도 될 수 있다고 생각한다.

 

  → n이 한없이 커짐에 따라 1.01에도 가까워지기 때문에 직관적 정의를 따를 때 이러한 인지적 장애가 발생할 수 있다.

 

 (3) 1, 1, 1, 1, · · ·  과 같은 상수수열의 극한값은 존재하지 않는다고 생각한다.

  → 수열은 끊임없이 진행하면서 변화해야한다는 개념 이미지에의해 이러한 인지적 장애가 발생할 수 있다.

 

 (4)

 

를 연속함수라고 생각한다.

 

  → 연속의 개념 정의보다는 그래프가 끊어지지 않고 연결되어 있다는 개념 이미지에 의해 이러한 인지적 장애가 발생한다.

 

2. APOS 이론

 (1) 핵심어

  ① 행동 (A) : 대상에 대한 변환을 적용해 보는 것

  ② 과정 (P) : 행동을 반복하면서 반성하는 가운데 행동이 내면화되어 하나의 정신적인 과정이 되는 것

    즉, 과정이란 행동이 내면화되어 동일한 조작을 할 수 있는 정신적 구조가 생긴 상태이다.

  ③ 대상 (O) : 과정을 전체로 인식하면서 과정이 대상화 되는 것

  ④ 스키마 (S) : 행동, 과정, 대상이 조직화되고 연결 됨으로써 하나의 일관성 있는 구조가 되면 '스키마'가 된다.

 

 (2) APOS이론의 적용

 

  ① 무한 개념에 대한 APOS이론 적용

   ㉮ A : 자연수를 1, 2, 3, ··· 에서 시작하여 N = {1, 2, 3, ··· } 으로 구성

   ㉯ P : 행동이 내면화된 가능한 무한의 단계

   ㉰ O : 가능한 무한이 대상화된 실무한의 단계

   ㉱ S : 수열에 대한 체계적 틀인 스키마 형성

 

  ② 함수 개념에 대한 APOS이론 적용

   ㉮ A : 함수식의 변수에 값을 대입하거나 정의역의 원소를 공역의 원소로 대응

   ㉯ P : 함수를 입력과 출력으로 인식

   ㉰ O : 함수를 하나의 집합으로 간주하면서 집합에 대해 조직

   ㉱ S :  함수에 대한 체계적인 틀인 스키마 형성

 

  ③ 극한 개념에 대한 APOS이론 적용

   ㉮ A : 함수 y = f(x)의 그래프에서 x=a에 가까운 여러 x값들에 대한 f(x)의 함숫값을 살펴본다.

   ㉯ P : 행동을 'x가 a에 접근하면 f(x)가 3으로 가까워진다.'는 과정으로 내면화

   ㉰ O : 과정을 0< ∣ x - a ∣ < δ , ∣ f(x) - 3 ∣< ε 과 같이 표현하여 대상화

   ㉱ S : 극한에 대한 체계적인 틀인 스키마 형성

 

교과서 속의 미분과 적분

 

1. 수열 

  : 수열은  '어떤 규칙에 따라 수를 차례로 나열한 것'으로 도입되기 때문에 학생들은 수의 나열이라는 측면에서만 수열을 인식하지만

  수열의 일반항을 {an​} 이라 할 때, 수열은 정의역을 자연수 전체의 집합, 공역을 실수 전체의 집합으로 하는 함수이며, 학생들에게 이러한 점을 강조해야 한다.

 

2. 무한개념

 (1) 무한 개념에서 겪는 어려움

  ① 0.9999··· = 1

 : 학생들은 0.9999··· 에서 소수점 아래 9가 아무리 계속되어도 1과는 미세한 차이가 있음에도 불구하고, 고도의 정확성을 추구하는 엄정한 학문이 수학에서 이 두 값이 같다고 놓는것을 적절하지 않다고 생각하는 경향이 있다.

  → 0.9999 ··· 는 어떤 값을 향해 계속 진행되는 동적인 관점의 '과정' 이지만 1은 완결된 정적인 관점의 '결과'이다 .학생들은 동적인 관점(가능적 무한)에서 정적인 관점(실무한)으로 이행하는 가운데 여러 가지 장애를 경험하게 된다.

 

  ② 무한급수의 합을 유한 급수의 극한으로 보지 않고, 정적인 관점의 결과로 간주할 때 생기는 모순

 

    ㉮무한 급수를 하나의 값으로 놓게 되면서 생기는 모순

   :  x = 1 + 2 + 2^(2) + ··· = 1 + 2(1 + 2 + 2^(2) + ··· ) = 1 + 2x 이므로 x = -1으로 계산하게 된다.

 

    ㉯유한에서 성립하는 여러 가지 성질을 무한에 적용하면서 생기는 모순

   : 1 + (-1) + 1 + (-1) + ··· 에서 

  S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + ··· 

 -S =            1 + (-1) + 1 + (-1) + ··· 

으로 두고 위의 식에서 아래 식을 빼면 2S = 1 이므로 S = 1/2이라는 모순

 

3. 미적분학의 기본정리

 (1) 미적분학의 제1기본정리

나무위키 발췌

 

 (2) 미적분학의 제2기본정리

신사고 교과서 발췌

  ① 2015 개정 교육과정에서 정적분의 정의

   성취기준 : 급수의 합을 이용한 정적분 정의는 다루지 않는다. f(x)의 부정적분 F(x) 에 대하여 F(b) - F(a) 를 f(x)의 a에서 b까지의 정적분이라 정의하되, 그 도입 및 설명 방법을 다양하게 할 수 있다.

     ↓

  ② 2022 개정 교육과정에서 정적분의정의

   성취기준 해설 : 닫힌구간 [a, b]에서 연속함수 f(x)의 함숫값이 음이 아닌 경우 함수 f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 f(x)의 a에서 b까지의 정적분이라 하고, 이를 일반적인 연속함수에 대한 정적분의 정의로 확장한다.

 

4. 자연로그의 밑 e

수학교육과정과 교재연구 발췌

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미적분 교수 · 학습 개선 방향

 

1. 수열과 함수의 극한값에 대한 지도방법

 

 (1) 

 

 

의 정의

  ① 고등학교의 직관적 정의 : 무한수열 {an} 에서 n이 한없이 커짐에 따라 수열의 일반항 an이 일정한 값 a에 가까워진다.

  ② 대학교의 형식적 정의 : 임의의 ε>0 에 대하여 적당한 자연수 N가 존재하여 n≥N인 모든 자연수 n에 대하여 |an−a|<ε을 만족할 때, 수열 {an}은 a에 수렴한다 하고 a을 {an}의 극한이라 한다.

 

 (2) 직관적 정의와 형식적 정의의 특징

	직관적 정의	형식적 정의
함수적 관점	n이 변화함에 따라 an이 변화하는 '함수의 종속적 관점'	각 n에 대하여 정해진 조건을 만족하는 an이 존재한다는 '함수의 대응적 관점'
변수의 본질	독립변수 n이 커질 때 종속변수 an이 일정한 값에 가까워지는 동적인 특성을 지닌다.	수열의 항들이 이미 존재한다고 가정하고 항들과 극한 사이의 관계를 보는 정적인 특성
무한의 관점	항들이 끊없이 계속된다는 가능적 무한을 기초로 함	수열이 무한히 계속되지만 어느 순간 완결된 값을 갖는다는 실무한의 개념을 바탕으로 함
극한값	n의 변화에 따른 an의 변화 과정에 초점 , 극한값을 발견하는데에 초점	|an−a|<ε 를 만족하는 결과로서의 극한값 a에 초점 , 발견된 수가 극한값임을 보증하는데에 초점
논리적 전개 순서	독립변수 n이 커지는 원인에 의해 종속변수 an이 a에 가까워지는 결과를 생각하므로 원인에서 결과로의 전개순서를 갖는다.	종속변수가 |an−a|<ε를 만족할 수 있도록 독립변수 n을 결정하므로 결과에서 원인으로의 전개순서를 갖는다.

 

2. 라카토스의 준경험주의에 기초한 접선 개념 지도

 (1) 접선의 개념 : 곡선과 한 점에서 만나는 직선

  ① 중학교 2학년 (삼각형 내심, 외심)

  : 원과 직선이 한 점에서 만날 때, 이 직선은 원에 접한다고 한다. 이때 이 직선을 원의 접선이라 하고, 접선과 원이 만나는 점을 접점이라 한다.

 

  ② 고등학교 1학년 (이차방정식과 이차함수)

신사고 교과서 발췌

 이차함수에서 접한다 : 곡선과 한 점에서 만난다.

 

  ③ 고등학교 1학년 (원과 직선의 위치관계)

신사고 교과서 발췌

원과 직선과의 관계에서 접한다 : 한 점에서 만난다.

 

※ 생기는 오류 : 한점에서 만나지만 접선이 아닌 경우가 존재한다. ex) y = x^2 과 x=2인 직선

 

↓

 (2) 접선의 개념 : 곡선과 한 점에서 스치며 만나는 직선

 

※생기는 오류 

  ⓐ 한 점에서 스치며 만나지만 접선이 아닌 경우 존재 ex) y = |x | 와 y = 1/2x

  ⓑ 두 점에서 만나지만 접선이 아닌 경우 존재

  ⓒ 관통하며 만나지만 접선인 경우 존재

 

↓

 

 (3) 접선의 개념 : 할선의 극한

신사고 교과서 발췌

기하적 접선 개념	함수적 접선 개념
1. 곡선과 한 점에서 만나는 직선 2. 곡선과 한 점에서 스치듯이 만나는 직선	1. 직선의 방정식과 곡선의 방정식을 연립하여 얻은 x에 대하여 방정식이 중근을 갖는 직선 (D=0)
3. 할선의 극한	2. 곡선 위의 한 점을 지나며 기울기가 그 점에서의 미분계수와 같은 직선

 

 

 

3. 역사 발생적 원리를 따른 미적분 지도의 어려움

 (1) 적분의 경우 일반적인 방법이 존재하는 미분과 달리 함수식의 형태에 따라 적분 방법이 달라지기 때문에 미분에 비해 전반적인 난이도가 높다.

 

 (2) 미분의 역과정으로 적분을 도입하지 않을 경우 구분구적법으로 적분을 구해야 하는데, 이 과정은 상당히 복잡하고 번거롭다.