수학교육과정과 교재연구 _ 기하

기하학의 역사적 발달

 

1. 유클리드 기하

 (1) 유클리드 원론 : 정의, 공리, 공준으로부터 수학의 모든 명제를 체계적이고 연역적으로 이끌어냄

  ① 공리적 방법 : 인간이 직관적으로 자명하게 참이라고 인정하는 사실을 공리, 공준으로 상정한 다음 공리와 공준으로부터 다른 수학적 명제를 이끌어내는 방법

 

  ② 귀납적 추론, 연역적 추론

   ㉮ 귀납적 추론 : 실험, 측정, 관찰 등을 통하여 몇 가지 사례에서 명제가 참임을 보인 후 사례가 속하는 전체 범주에서 그 명제가 참임을 주장하는 것

   ㉯ 연역적 추론 : 정의, 공리, 공준, 이미 참이라고 알려진 성질 등을 이용하여 새로운 참인 명제를 이끌어내는 것

 

  ③ 종합법과 분석법

 

 

 (2) 유클리드 원론의 수학교육적 한계

  ① 비형식적 추론이라고 할 수 있는 귀납적 추론, 유비추론을 통한 발견 과정은 유클리드 원론에는 나타나 있지 않다.

  ② 유클리드 원론의 종합적 방방식은 유클리드가 원론을 저술하는 과정에서 경험하였을 무수한 수학적 추론 과정을 보여주지 못한다.

 

 

 (3) 유클리드 원론의 교수학적 변환

  ① 점, 선, 면의 교수학적 변환 

    : 유리닦이로 창문을 닦을 때 점 → 유리닦이의 한쪽 끝, 선 → 유리닦이의 한쪽 끝이 지나간 자리, 면 → 유리닦이가 지나간 부분

   이를 통해 ' 점이 연속적으로 움직이면 선이 되고, 선이 연속적으로 움직이면 면이 된다. 따라서 선은 무수히 많은 점으로 이루어져 있고, 면은 무수히 많은 선으로 이루어져 있다.' 임을 알 수 있다.

 

  ② '평행인 두 직선에서 동위각의 크기는 같다.'의 교수학적 변환

    : 서로 평행한 두 직선과 다른 한 직선이 만날 때 생기는 동위각의 크기 측정해서 같음을 파악하기 + 동위각의 크기가 같은 두 직선을 그어보고 두 직선이 서로 평행함을 파악하기

   이를통해 ' 한 평면 위에 있는 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 두 직선이 서로 평행이면 동위각의 크기가 같다. + 동위각의 크기가 서로 같으면 두 직선은 서로 평행하다.' 임을 알 수 있다.

 

2. 해석기하

 (1) 의미 : 좌표 개념을 도입하여 기하를 다루는 것

   ex) 직선의 기울기, 삼각형의 세 변의 수직 이등분선이 한 점에서 만남을 좌표이용해서 증명하기

 

3. 비유클리드 기하

 

4. 변환기하

 (1) 개념 : 도형의 성질을 변환의 관점이나 함수적 관점에서 파악하는 것

   ex) 평행이동, 대칭이동

 

기하와 증명 교수 · 학습 관련 연구

 

1. 개념 체계 형성 방식 ( 개념 사이의 관련성 구축 방식)

 

 (1) 수직적 관련성

  ① 개념들간의 위계구조

  ② 개념 A와 B가 수직적 관련성을 갖는다. = 개념 A와 B 사이에 논리적 종속 관계가 성립한다.

  ③ 교사는 새로운 개념을 학습하기 위해 필요한 선수개념이 무엇인가를 잘 파악하고 있어야 한다. → 학습의 준비성과 연결

 

 (2) 수평적 관련성

  ① 어떤 대상이나 현상을 여러 개념을 통해 동시에 파악하는 것

  ② 수평적 관련성으로 연결된 개념들은 독립적이면서도 상호보완적으로 관계를 맺는다.

 

 (3) 수직적 관련성과 수평적 관련성 구축의 장애원인, 교수학적 관점

  ① 개념의 개별화

    ㉮ 학생들이 각각의 개념들을 분리된 것으로 보는 것 → 개념들 사이의 관련성 구축을 방해

    ㉯ 극복 방법

     : 학생들에게 이미 확립되어 있는 하위 개념에 근거해서 새로운 개념을 도입하고 설명해야 한다. → 새로운 개념이 이미 확립되어 있는 개념과 관계망을 연결하게 하는 것

 

  ② 개념의 고착화

    ㉮ 학생들이 개념을 특정 맥락에만 고착화시키는 것

    ㉯ 개념을 설명하기 위해 제시된 사례를 그 개념과 강하게 결부시켜서 개념을 개념 사례에 고착화시키는 것 

    ㉰ 극복방법

     : 수학적 다양성의 원리를 따라 비본질적인 성질의 다양한 변형을 제시함으로써 비본질적인 성질과 본질적인 성질을 비교할 수 있도록 한다.

 

  ③ 선행 개념의 방해

    ㉮ 어떤 대상에서 두드러지는 개념이 그 대상을 다른 개념으로 해석하는 것을 방해하는 것

    ≒ ' 중복장애 ' : 기하문제를 해결할 때 변, 각, 꼭짓점 등의 똑같은 요소를 두 번 이상 존재하는 것처럼 고려해야 할 때 곤란을 겪는 현상

 

2. 반힐레 기하적 사고 수준 이론

반힐레의 수학 학습 심리학 (tistory.com)

반힐레의 수학 학습 심리학

 

3. 프로이덴탈의 기하 교수 · 학습 이론

프로이덴탈의 수학 학습 심리학 (tistory.com)

프로이덴탈의 수학 학습 심리학

 

 

4. 수학 철학적 관점에서 본 증명의 의미

 (1) 절대주의 → 증명은 정당화 수단이다.

  ① 플라톤 주의 : 수학적 지식은 영구불변의 완전한 이상적인 이데아이고, 증명은 수학 내용의 절대적 진리성을 정당화하는 유일한 방법이다.

  ② 논리 주의 : 수학은 논리의 일부분이고, 증명은 수학 지식을 논리적으로 정당화하는 장치이다.

  ③ 직관 주의 : 수학 명제의 참은 구성가능성과 동치이다. 

  ④ 형식 주의 : 증명은 특별한 규칙을 따르며 의미를 고려하지 않는 기호조작이다.

 

 (2) 준경험주의 → 증명은 발견의 수단이다.

  ① 증명의 본질은 사고실험이다. → 사고실험을 통한 증명의 재검토과정에서 반례를 발견하고 증명과 추측을 반박, 개선해서 새로운 개념을 발견한다.

  ② 증명절차는 추측을 부분추측으로 분해하여 그것을 이미 알고 있는 것과 연결시키는 과정이다.

 

 (3) 사회적 구성주의 → 증명 : 설명과 확신의 수단이다.

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학생들의 증명 학습 실태

 

1. 증명방법의 어려움

 (1) 학생들이 새로운 문제에 대해 증명 방법을 찾지 못하고, 교사가 설명한 증명방법을 그대로 되풀이하여 재생하는 경향이 있다. → 삼각형의 합동 조건에 형식적으로 고착되었다.

 

 (2) 원인 : 증명을 종합법으로만 지도하기 때문

 

 (3) 극복방법 : 분석적 방식을 도입한다.

 

2. 'A이면 B이다.' 형태의 명제 해석의 어려움

 (1) 극복방법 : 보통문제의 조건에 해당하는 가정만을 제시하고 가정으로부터 성립될 수 있는 결론을 스스로 탐색하게 한다. → 증명이 자연스럽게 필요해짐

 

3. 정당화 수단으로서의 증명의 한계

 (1) 학생들은 이미 참이라고 배운 것을 왜 증명해야하는가에 대한 의문이 생김

 (2) 극복방법 : 정당화 수단으로서의 증명과 함께 조직화 수단으로서의 증명을 지도할 필요가 있다.

 

4. 기호 사용의 어려움

 (1) 기호의 종류

  ① 신호로서의 기호 : 기호를 정리하여 간단한 형태로 제시하거나 기호의 값을 구하고 기호의 범위를 구하는 것

  ② 상징으로서의 기호 : 개념의 의미를 생각하는 동시에 개념들 사이의 관계를 기호로 표현하는 것

 

 (2) 학생들은 개념의 의미를 생각하는 동시에 개념들 사이에 관계를 생각하면서 증명을 수행해야 하는 복합적 사고를 해야하기 때문에 어려움을 겪는다.

 

 (3) 극복방법 : 증명에서 기호를 점진적으로 도입한다. (가정, 결론, 증명을 말로 설명해 본 다음 그것을 다시 기호로 나타내도록 지도)

 

 

5. 증명 방법 탐색 시간의 부족

 

증명의 교수 · 학습 개선방향

 

1. 분석적 방식과 종합적 방식의 통합

  : 분석적 방식으로 증명 방법을 찾발고 종합적 방식으로 증명 과정을 정리하도록 지도한다.

 

2.발견의 맥락과 정당화의 맥락 통합

  : 조건에 해당하는 가정만을 제시하고 그 가정으로부터 성립할 수 있는 결론을 발견하게 한 후 발견한 결론이 참임을 밝히기 위해 증명을 수행하도록 하는 것

 

3. 조직화 수단으로서의 증명 도입 ( =국소적 조직화)

  : 학생들 수준에서 참으로 인정된 성질들을 찾은 후 성질들 사이의 관계를 명제로 조직하여 이를 증명하도록 한다. 그때 여러 성질들을 조직화하기 위한 수단으로 증명을 경험하게 된다. 그 후 가장 기본이 되는 성질을 정의한다.

 

4. 도형의 성질에 대한 다양한 경험 필요

  : 증명을 본격적으로 지도하기에 앞서 도형을 관찰하고 도형의 성질들 사이의 관계를 파악하는 등 다양한 활동을 경험하게 한다.

 

5. 사회적 구성주의 관점 도입

  : 증명을 자신의 주장을 다른 사람에게 설명함으로써 다른 사람을 확신시키는 과정으로 도입

 

 

2022개정 교육과정에 따른 기하 교과서에서 정당화 지도 내용

 

도형과 측정 단원 성취기준 적용 시 고려 사항

 

● 도형의 성질을 이해하고 정당화하는 방법은 관찰이나 실험을 통한 확인, 사례나 근거 제시를 통한 설명, 유사성에 근거한 추론, 증명 등이 있으며, 이를 학생 수준에 맞게 활용할 수 있다.

 

→ 정당화 지도 내용

1. 관찰이나 실험을 통한 확인

2. 사례나 근거 제시를 통한 설명

3. 유사성에 근거한 추론

4. 증명