수학교육과정과 교재연구 _ 대수

대수의 역사적 발달

 

1. 학교 대수의 다양한 측면 - 문제해결 과정의 학습, 두 양 사이의 관계 학습, 산술의 일반화 학습, 구조의 학습

 

2. 대수의 발달단계

 

 (1) 언어적 대수 단계 : 풀이 과정 전체가 일상언어로만 기술되는 단계

 

 (2) 생략적 대수 단계 : 자주 반복되는 개념이나 계산을 축약용어나 머리글자 같은 생략용어를 사용하여 나타내는 단계

  ① 미지수를 표현하기 위해 문자를 사용하기 시작함

  ② 방정식의 풀이가 나타나기 시작했지만 모두 계수가 수로 되어있었고, 해는 수치로만 표현됨

 

 (3) 기호적 대수 단계 : 문자를 미지의 양뿐만 아니라 주어진 양을 나타내는 데에도 사용하기 시작

  ① 수학 문제를 일반적이고 형식적인 방법으로 취급하는 결정적 계기

 

 (4) 대수에 대한 관점 ( 대수에 대한 관점이 절차적인 관점에서 구조적인 관점으로 변화했다.)

  ① 대수의 절차적인 면 : 수치를 얻기 위해 수를 가지고 행하는 산술적 연산을 의미. 조작의 대상이 대수식이 아닌 식에 수치를 대입하는 과정이다.

    ex) 3x + y에 x대신 4, y대신 5를 대입해서 17을 얻는 것

         2x + 5 = 11의 해를 얻기 위해 x에 여러 값을 대입하는 것

 

  ② 대수의 구조적인 면 : 대수식 자체에 행해지는 여러 연산. 조작의 대상이 대수식이다.

 

3. 대수적 원리 : 기존의 성질이 유지되도록 대수적 구조를 확장하는 형식 불역의 원리

   즉, 산술 대수 법칙이 기호 대수로 확장되는 것

 (1) 산술 대수 : 일상적인 양수를 나타내는 기호와 덧셈, 뺄셈과 같은 연산기호를 사용하여 얻어지는 학문

 (2) 기호 대수 : 연산의 적용범위에 제한을 두지 않는 학문

 

산술		산술대수		기호대수
7 - ( 5 - 2 ) = 7 - 5 + 2	→	c < b, b - c < a 일 때 a - ( b - c ) = a - b + c	→	a - ( b - c ) = a - b + c
직관적인 수의 관념		알고리즘적인 계산수로서의 특징		연산의 일반화

 

 

대수 교수 학습 관련 연구

 

1. 대수적 언어 (= 변수) 학습

 (1) 변수 개념의 본질

변하는 대상	다가이름
● 변수의 동적인 측면   : 실제로 변하거나 변한다고 가정되는 대상의 운동학적 상태를 나타내는 것  ● 실제로 변하거나 변한다고 가정되는 대상 ● 흐르는 시간 t, 0에 수렴하는 수 ε ● 변하는 수 변하는 양 ●변화를 설명하려는 필요성에서 발생	● 변수의 정적인 측면   : 동치인 여러 대상을 동시에 나타내는 것 ● 수학적으로 동치인 임의의 대상 ● a + b = b + a ● 임의의 수, 임의의 양 ● 여려 상황의 동시고려 필요성에서 발생

 

 (2) 대수 학습과 변수의 다양한 의미

문제해결 과정의 학습 - 자리지기로서의 미지수 (= 방정식의 해)	산술의 일반화 학습 - 다가이름으로서의 부정소 (수들 사이의 관계를 통합적으로 나타낼 때 사용)
두 양 사이의 관계 학습 - 독립변수, 종속변수, 매개변수 (값들이 어떤 관계를 유지하면서 변해감)	구조의 학습 - 임의의 대상, 임의의 기호 ( 구조, 공식을 증명, 학습과정 없이 최종 결과를 배울 때)

 

2. 변수의 개념과 인지장애

 

 (1) 변수의 기호를 임의로 선택할 수 있다는 것을 잘 이해하지 못한다.

  ① 원인

    ㉮ 함수를 배우기 전 일차 방정식의 하나의 해 같은 유일한 대상을 구하는 경험을 많이 하기 때문에

    ㉯ 산술의 영향 ( 3 기호로 나타내는 값은 선택의 여지가 없다.)

  ② 인지장애 완화 방법

    ㉮ 다른 문자에 같은 값 대입해 보기

    ㉯ y = 2x , z = 2w 에서 각각 x, w의 값에 수를 대입해 좌표평면에 표시하면서 그래프를 그리고 두 식의 그래프가 서로 같음을 이해하게 하기.

  ③ 예

    ㉮ y=2x와 z=2w가 다른 함수라고 인식한다.

    ㉯ x+y+z = x+p+q 는 절대 참인 문장이 될 수 없다고 생각한다.

 

 (2) 변수가 나타내는 대상을 제한하여 생각하는 경향이 있다. ( 변수의 대상을 수에 국한시킨다.)

  ① 원인 : 방정식에서 미지수로 변수를 이해하기 때문에

  ② 인지장애 완화 방법

    : 수학의 다양한 영역에서 변수를 지도할 때

      - 기하에서 삼각형의 꼭짓점을 A, B, C로 나타내고 한 변의 길이를 a, b, c로 나타내어 보거나 집합과 명제의 학습에서 p → q의 p와 q는 어떤 명제임을 알게 해서 변수는 임의의 대상임을 알게 한다.

  ③ 예 : 변수의 대상을 수에 국한시킨다.

 

 (3) 변수를 포함한 대수식을 완결되지 않은 식으로 인식하기도 한다.

  ① 인지장애 완화방법 : a+b가 a와 b를 더하는 과정이 되기도 하고 a와 b의 합 그 자체라는 대상이 되곧 한다는 점을 인식시킨다.

 

 (4) 변수는 특정한 대상을 대신하는 것(자리지기로서의 미지수)으로 이해한다.

 ① 원인 :  y = ax 함수 관계에서 x, y나 방정식에서의 미지수 x 정도로만 변수를 인식하는 활동이 많기 때문에 일반화된 식에서 부정소로 사용된 문자 a를 변수로 인식하는 학습 기회가 부족하다.

  ② 예 

    ㉮ x+y = y+x에서의 x,y처럼 임의의 수를 나타내기 위해 사용된 문자를 변수로 생각하는 것에 익숙하지 않다.

    ㉯ '모든 실수 x에 대하여', '정의역에 들어있는 원소를 x라 하자'와 같은 문장을 잘 이해하지 못한다.

 

 (5) 독립변수, 종속변수의 개념을 불완전하게 이해하고 있다.

  ① 예 : y=ax에서 x는 변수로 파악하지만 y는 변수가 아니라고 생각한다. 즉, 어떤 관계에서 한 변수의 변화에 의해 다른 문자의 값이 '따라서' 변할 수 있다는 개념을 잘 인식하지 못한다.

3. 문자 사용의 이해 - 수학 언어로서 문자가 갖는 독특한 성질

 (1) 문자와 수의 차이

  ① 동시 표현의 성질

   ㉮ 개념 :수는 단 하나의 수를 표현하지만 문자는 동시에 그리고 개별적으로 많은 수를 표현할 수 있다.

   ㉯ 수학에서의 정의, 정리, 공리 등이 간결하고 분명하게 표현될 수 있으며, 나아가 일반적인 진술이 가능하게 된다.

 

(2) 문자와 일상언어와의 차이

  ① 한계 결정의 자유성

   ㉮ 개념 : 일상언어는 명시적 또는 암묵적으로 처음부터 부과된 의미가 있기 마련이지만 문자는 고정된 의미의 집합에 연결되어있지 않다.

   ㉯ 수학의 언어에 일반성을 부여하게 된다.

 

  ② 문자 사용의 자유성

   ㉮ 개념 : 일상언어는 표현이 변하면 그 표현이 나타내는 대상의 변화가 거의 항상 일어나지만 수학 언어는 주어진 대상을 지칭하기 위해 거의 아무거나 임의로 문자로 선택할 자유가 있다.

   ㉯ 수학 언어에 유연성을 부여하게 된다.

 

4. 대수적 전략

 (1) 대수적 원리 - 지수의 확장

 

 (2) 대입 - 변수에 수치 대입해 특수화, 수치에 변수 대입해 일반화, 복잡한 식을 단순한 식으로 치환

 

 (3) 대수적 번역 : 문제상황을 간단히 정돈해서 대수적 식으로 표현한 것

   - 자연수 n이 짝수 → n = 2k로 표현

 

 (4) 방정식을 해결하고 문제해결 도구로 인식하기

 

 (5) 식을 함수로 간주하기

 

 (6) 관점의 전환 - 자료를 미지의 것으로 미지의 것을 자료로 생각하기, 부등식을 등식으로 생각하기, 대수 문제를 기하학적 관점으로 해결하기

 

 (7) 대칭성 알아보기

  ① 등호

   ㉮ 산술에서의 등호 : 왼쪽 식에서 오른쪽 식을 얻는 하나의 과정

    - 발생할 수 있는 장애 : 3 + 4 = 7 + 10 = 17과 같이 등호를 오른쪽으로 향하라는 화살표기호처럼 사용할 수 있다.

   ㉯ 대수에서의 등호 : 등호 개념이 동치 개념의 이해와 연결된다.

     , 방정식은 양변의 서로 다른 형태의 대수식을 동치관계를 의미하는 등호를 사용하여 연결한 것

 

 (8) 식이 양임을 보이기 -부등식 증명

 

 (9) 분석적 사고, 종합적 사고

 

  ① 종합법 : 공리나 공준에 근거해서 가정으로부터 결론을 이끌어내는 방법

 

   ㉮ 방정식에서의 종합법 : 방정식이 참이 되기 위해 필요한 조건으로 발견한 해가 방정식을 참이 되게 하는 충분조건도 되는지 알아보면서 필요충분조건이 되는 해를 찾는 과정

 

  ② 분석법 : 결론에서 시작하여 결론이 참이기 위해 성립해야 할 선행조건을 거꾸로 찾아 올라가면서 가정과 연결시키는 방법

   ㉮ 명제에서의 분석법 : 증명하고자 하는 명제를 이미 성립한 것처럼 가정하고, 그 명제가 선행하는 어떤 명제로부터 유도될 수 있는지를 물어나가는 방식으로 계속해서 충분조건을 찾아감으로써 이미 참임이 드러난 명제에 도달하는 방법

 

   ㉯ 방정식에서의 분석법 : 문제상황으로부터 구하려는 것과 주어진 것 사이의 관계를 찾아 그 관계를 식으로 나타낸 후, 이 식이 풀렸다고 가정하고 등식의 성질을 이용하여 방정식을 변형하면서 방정식이 참이 되기 위한 필요조건을 찾는 과정

 

   ㉰ 작도에서의 분석법 : 주어진 조건을 만족하는 도형을 작도했다고 가정하고, 그 도형을 작도하는데 필요한 도형을 찾아 작도하는 방법