수학교육과정과 교재연구 _ 확률과 통계

확률과 통계 교수 · 학습 관련 연구

 

1. 확률 교육에서 직관의 역할

 

 (1) 피아제와 인헬더 : 개인의 일상적인 행동과 생각 속에 확률에 관한 직관이 어느정도 반영되어 있고 개인은 자발적으로 확률적 판단 능력을 발전시킬 수 있다.

 

 (2) 피시바인 

  ① 확률 개념을 이해하기 위해서는 확률에 대한 자연스러운 직관을 거부하는 태도가 필요하다.

  ② 인간의 행동 자체가 확률적이므로, 확률 교육에서는 인간의 행동을 탐구하는 것에 강조점을 두어야 한다.

  ③ 연역적 사고만으로는 확률의 의미를 제대로 교육할 수 없으므로, 확률교육을 통해 귀납적 사고의 가치와 역할을 가르쳐야하며, 이미 발달시킨 직관의 한계를 이해하고 수정하여 균형을 추구해야한다.

 

2. 판단 전략과 확률교육

 

 (1) 대표성 전략 : 표본의 크기와 관계없이 모집단과 유사할 것이라고 기대하거나 표본추출 과정이 무작위성을 반영하기를 기대하는 것

 ex) 동전을 여섯 번 던지면 HHHTTT보다는 HTHHTT가 일어날 가능성이 더 높다고 판단하는 것

     전체 교사의 1/3이 여자라고 하면 세 명의 교사 중에 반드시 한 명은 여자라고 기대하는 것

 

 (2) 정보 이용 가능성 전략 : 확률적 판단을 내릴 때 개인이 이용할 수 있는 정보에 영향을 받는 것

  ex) 최근에 교통사고를 목격한 사람이 그렇지 않은 사람보다 교통사고 확률을 높게 추청하는 것

     apple처럼 a로 시작하는 단어가 spark처럼 a가 3번째 오는 단어보다 많다고 판단하는 것

 

 (3) 조정과 고정 전략 : 초기값을 어떻게 정하느냐에 따라 상당히 다른 결과에 도달하는 현상

  ex) 8×7 ×6 ×5 ×4 ×3 ×2 ×1 을 어림하면 ? 1 ×2 ×3 ×4 ×5 ×6 ×7 ×8을 어림하면? 이라는 문제를 제시할 때 앞으 경우는 평균 2250으로 뒤의 경우는 평균 512로 제시하는 경우 → 큰 수에서 시작하느냐, 작은수에서 시작하느냐가 결과에 영향을 줌

 

 (4) 결과 중심 판단 전략 : 일어날 가능성의 추정보다는 결과가 어떻게 될 것인가를 판단하여 결정하는 것

  ex) 비올 확률이 60%이면 비가 올 것으로 판단하고 40%이면 오지 않을 것이라고 단정 지어 판단하는 것

 

 (5) 인과적 정보에 주목하는 판단 전략 : 도수에 관한 정보보다는 인과적 정보에 주목하여 판단하는 현상

  ex) 주사위를 던지고 어느 면이 가장 많이 나타날 것인지 예측할 때에 제시된 자료보다는 주사위 모양 또는 던지는 사람의 행동에 기초하여 판단하는 것

 

3. 확률적 사고와 교육

 

 (1) 확률적 사고의 발달 수준

 

  ① 비확률적 사고 수준 : 수학적 판단이 아닌 신념에 근거해 판단하거나 단일한 결과만을 예측하고 확인하는 수준. 우연 현상이나 무작위 사건에 대하여 주목하지 않으며, 주목한다고 해도 잘 이해하지 못한다.

 

  ② 원시 확률적 사고 수준 : 판단 전략을 초보적이고 직관적으로 사용하는 수준. 우연이나 무작위 사건의 의미를 불완전하게 이해한다.

 

  ③ 발생 단계의 확률적 사고 수준 : 간단한 문제 상황에 수학적 확률 또는 통계적 확률 개념을 적용하는 단계. 확률 교육을 받은 초기 단계에 도달하는 수준으로 볼 수 있다.

 

  ④ 실제적인 확률적 사고 수준 : 우연에 대한 여러 수학적인 관점, 곧 통계적 확률가 수학적 확률 등의 의미를 이해하며, 이들 사이의 차이점을 알고 적절하게 적용하는 단계. 불확실한 상황에서 판단할 때 수학적인 확률 개념을 적용하고 그 판단의 전제조건과 제한점도 이해하는 수준.

 

 

→ 여러 개념수준이 선형적, 배타적으로 존재하는 것은 아니다. 예를 들어 발생 단계의 확률적 사고 수준을 거쳐야 실제적인 확률적 사고 수준에 도달하는 것은 아니다. 어떤 경우에는 원시 확률적으로 생각하다가 어떤 경우에는 발생 단계의 확률적 사고를 하기도 한다.

 

 

 (2) 표본공간 개념의 발달 수준

  ① 주관적 사고 : 단일 사건의 모든 경우를 불완전하게 나열함

  ② 이행기 : 단일 사건의 모든 경우를 나열함.  제한적이거나 체계적이지 않은 전략을 사용하여 복합 사건의 모든 경우를 나열함

  ③ 비형식적 양적 사고 : 전략을 일부 활용하여 복합사건의 모든 경우를 나열함 

  ④ 수치적 사고 : 전략을 활용하여 둘 또는 세 사건으로 이루어진 복합사건의 모든 경우를 나열함

 

4. 조건부 확률

 (1) 조건부 확률 관련 학생들의 오개념

  ① 조건부 확률 문제인지에 대한  판단을 기계적으로한다. ( ex 만약 ~라면 ~일 확률, A | B ...)

  ② 조건부 확률을 조건 사건과 목적 사건이 순차적으로 일어나는 경우, 인과관계로 되어있는 경우로 착각한다.

 

 (2) 학생 지도 전략

  ① 일상적으로 사용하는 표현 중 '~한다면 ··· 일 것이다.', '~의 가능성은 ··· 의 영향을 받는다.', '~은 ···에 달려있다.' 와 같은 조건문에 주목하고 그 의미와 형식을 파악하게 한다.

 

  ② 독립사건과 종속사건의 의미를 풍부하게 경험하게 한 후 곱셈법칙과 조건부확률의 알고리즘화를 시도한다. 즉, 고등학교가 아니라 더 이른 시기에 조건부확률을 도입해 비형식적으로 다룬 후 점차 형식화하는 것이 필요하다.

 

  ③ 조건에 의해 확률이 수정되는 과정으로 조건부 확률을 이해한다. 즉, 사전확률이 사후확률로 변화는 과정이라는 것을 이해하게 한다.

 

  ④ 조건 사건이 반드시 먼저 일어나는 사건일 필요는 없다는 것을 분명히 하고, 시간순서와 조건관계는 관련이 없다는 것을 이해하게 한다.

 

  ⑤ 조건관계를 인과관계와 구분하여 지도한다.

 

  ⑥ 베이즈 정리의 본질인 가추적 사고를 고려하여 지도한다. 가추적 사고가 추리소설이나 일상생활에서 우리가 쉽게 사용하는 추론형식임을 인식시키고, 계산 공식 이면에 존재하는 가추법의 관점을 보여준다면 학생들은 단순한 계산 도구 이상으로 조건부 확률의 의미를 되새길 수 있을 것이다.

 

  ※가추적 사고 ( = 귀추적 사고, 가설 - 연역법)  : 어떤 현상을 관찰하고 이에 대한 인과적 의문을 설명하기 위해 경험이나 사전 지식 등을 활용하여 가설을 제안하는 방법. 즉,  특정 현상의 관찰 결과에서 시작하여, 이를 잘 설명하는 이론이나 가설을 선택하여, 그러한 관찰 결과가 나오게 된 원인을 설명하는 것.

 

  ⑦ 확률 개념의 다양한 관점을 고려하여 조건부 확률을 지도한다. 수학적 확률과 통계적 확률만으로는 확률의 뜻을 충분히 드러낼 수 없으며, 조건부확률이 추가 정보에 의해 변화된 확률이라는 점, 특히 그러한 의미에서 주관적 관점에 따른 확률이라는 점을 이해하도록 해야 한다.

 

5. 통계적 사고의 의미와 교육

 (1) 통계적 사고란? 자료의 변이성이 우리 주변에 그리고 우리가 행동하는 모든 것에 존재하고 있음을 인식하는 사고과정.

 

 (2) 통계적 사고 과정 : 자료의 변이성 속에서 규칙성을 찾는 것

  ① 문제단계 : 체계적으로 정보를 확인하여 문제를 형식화하는 단계

  ② 계획단계 : 측정방법을 결정하고 표본추출 방법을 선택하여 자료관리 체계와 예비조사 방법, 결과를 분석하는 방법을 결정하는 단계

  ③ 자료단계 : 필요한 자료를 수집하고 관리하여 정돈하는 단계

  ④ 분석단계 : 자료를 검토하고, 계획했던 대로 자료를 분석, 계획하지 않았던 방식으로 자료를 분석, 이에 근거한 가설을 생성하는 단계

  ⑤ 결론단계 : 결과를 해석, 결론 도출, 새 아이디어 모색, 상호의견 교환의 단계

 

 (3) 탐구 활동 과정에서 주로 활용하는 기본적인 통계적 사고

  ① 자료의 필요성 인식 → 자료가 왜 필요한지를 인식하지 못하면 조사 활동 자체가 의미가 없고 결국 통계적 사고를 경험하지 못하게 된다.

 

  ② 수량화 → 수량화에 의해 주어진 상황에 감추어진 수량적 정보를 적절히 드러내고 새로이 표현하지 못하면 자료를 궁극적으로 이해할 수 없다.

 

  ③ 자료의 변이성 탐구 → 자료의 변이성을 탐구하지 못하면, 자료가 어떤 특성을 가지고 있는지 파악하지 못하고 적절한 예측을 할 수도 없게 되며 결국 탐구 활동이 불가능해진다.

 

  ④ 통계와 맥락의 통합 → 낱낱의 자료가 아니라 자료 전체에 대한 통찰 그리고 그 통찰과 실세계 사이의 관계를 파악하고 통합하지 못하면, 통계가 실세계를 이해하는 중요한 도구가 된다는 것을 이해하지 못하며 궁극적으로는 통계를 활용하여 실세계 문제를 이해하거나 해결하지 못하게 된다.

 

6. 탐색적 자료분석 관점에 따른 통계교육

 (1) 탐색적 자료분석 : 간단한 그림에 대한 해석에 기초하여 자료 이면에 들어있는 의미를 파악하는 시도

 

 (2) 탐색적 자료분석 방법 : 자료를 표로 정리하기, 자료의 추세와 분포에 주목하기

 

 (3) 탐색적 자료 분석의 주요 주제

  ① 저항성 : 일부 자료가 파손되더라도 자료 전체에 대하여 비교적 합리적인 판단이 가능하다.

  ② 현시성 : 자료를 그래프로 나타내었을 때 그 그래프를 해석함으로써 다양한 의미를 도출할 수 있다. 즉, 자료를 그래프로 나타내는 것은 다양한 해석을 가능하게 함으로써 다양한 의미를 도출할 수 있다.

 

학률과 통계 교수 · 학습 실제

 

1. 통계의 유용성 인식

 (1) 중학교 : 실생활에서 통계를 활용하는 예를 찾아보고 통계의 유용성을 글로 표현하도록 한다. 또한 줄기와 잎 그림, 도수분포효, 히스토그램, 도수분포다각형, 상대도수 등에 대해 배운 이후 이 과제를 통해 통계의 유용성이라는 측면에서 이들 내용을 아우르고 비교하는 기회를 가진다.

  → 적합한 자료를 수집하고 적절한 방법으로 표현하며, 표현된 자료 이면에 담긴 의미를 해석하는 가운데 통계의 유용성을 인식하도록 한다.

 

 (2) 고등학교 : 표본조사, 모평균의 추정, 모비율의 추정 등 실제로 신문이나 방송에서 활용되는 통계용어와 개념을 다룬다. 교과서에서는 다양한 실생활 맥락을 도입하여 통계의 유용성인식에 매우 적극적인 입장을 취하고 있다.

 

2. 확률 개념의 지도

 

 (1) 중학교 : 통계적 확률을 먼저 고려한 후, 수학적 확률을 도입함으로써 확률 개념을 정립하도록 지도하고 있다.

  ex) 동전을던져 앞면이 나온 상대도수가 어떤 값에 가까워지는지 추측하게 함으로써 통계적 확률을 생각하게 함  → 통계적 확률의 뜻 제시 → 수학적 확률의 뜻 제시

 

신사고 교과서 발췌

 

3. 대푯값 지도 _ 중학교 1학년

 (1) 대푯값 : 자료 전체의 중심적 경향이나 특징을 대표적인 하나의 수로 나타낸 값을 그 자료의 대푯값이라고 한다. 대푯값에는 여러 가지가 있으며 평균이 주로 사용된다.

 

 (2) 중앙값 : 평균은 극단적인 값, 즉 상대적으로 매우 크거나 매우 작은 값의 영향을 많이 받는다. 이런 경우에는 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하였을 때 한 가운데 있는 값이 평균보다 자료의 전체적인 특징을 더 잘 나타낼 수 있다. 이 값을 중앙값이라 한다.

 , 변량이 홀수 개이면 값을 나열하였을 때 한가운데 있는 값을 중앙값으로 선택하고 변량이 짝수개이면 한가운데 있는 두 값의 평균을 중앙값으로 한다.

 

 (3) 최빈값 : 자료에서 가장 많이 나타나는 값을 최빈값이라 한다.

  ① 최빈값에 대한 오개념

    ㉮ 자료가 글자 또는 기호인 경우 학생들은 도수의 표를 보고 도수의 평균을 구하는 오류를 범하기도 한다. 

    ㉯ 글자 또는 기호가 대푯값이 될 수 있음을 잘 인식하지 못하기도한다. 

 

4. 상자그림 지도 _ 중학교 3학년

 (1) 성취기준 해설 : 상자그림을 다룰 때는 두 집단의 분포를 비교하고 해석하는 활동에 중점을 두고, 이를 통해 상자그림의 유용성을 인식하게 한다.

 

5. 상관관계

 (1) 성취기준 적용 시 고려 사항 : 상관관계는 양의 상관관계, 음의 상관관계, 상관관계가 없는 경우로 구분하여 다룬다.

 

 (2) 상관관계와 인과관계

  : 상관관계가 두 변령 A, B중 어느 것이 원인이고 어느 것이 결과인지를 나타내는 것은 아니다.