수학 문제해결 교육론 - 폴리아 (1)

문제해결의 이해

 

1. 문제해결의 의미와 유형

 (1) 문제와 문제해결의 의미 : 문제란 구체적이고 확실한 문제해결 방법을 쉽게 구하기 어렵고 문제해결을 위해서는 다단계에 걸친 다양한 사고가 요구되는 문제

 

 (2) 문제의 유형

  ① 정형화된 문제 : 이미 제시된 알고리즘을 활용하여 해결할 수 있는 문제나 전형적인 예제의 풀이방법을 그대로 적용할 수 있는 문제

  ② 비정형화된 문제 : 문제를 해결하는 알고리즘이나 답을 구하는 방법을 모르는 상태에서 문제해결 전략이나 독자적인 해결 방법을 구안하여 풀어야 하는 문제 

 

2. 문제해결 관련 요인 (숀펠트)

 (1) 자원 : 문제해결을 위해 개인이 사용할 수 있는 도구와 기법 (ex 수학적 지식, 알고리즘, 직관, 법칙 등)

 (2) 발견술 : 낯설고 비정형적인 문제를 해결하기 위한 전략기 기술 (ex 유추, 일반화, 특수화, 거꾸로 풀기, 보조 문제 이용하기 등)

 (3) 통제 : 자원과 전략의 선택과 수행에 관한 전반적인 결정능력

 (4) 신념체계 : 학습자가 수학에 대해 가지고 있는 가치관이나 선입견

 

3. 수학적 발견술

 

 (1) 분석법 (파푸스)

  ① 분석법과 종합법

    ㉮ 분석법 : 결론에서 시작하여 결론이 참이기 위해 성립되어야 할 선행조건을 거꾸로 올라가면서 가정과 연결시키는 방법 / 풀이 계획을 발견하는 과정

      ⓐ 명제에서의 분석법 : 증명하고자 하는 명제를 이미 성립하는 것처럼 가정하고 그 명제가 선행하는 어떤 명제로부터 유도될 수 있는가를 물어나가는 방식으로 계속해서 충분조건을 찾아감으로써 이미 참임이 드러난 명제에 도달하는 방법

      ⓑ 방정식에서의 분석법 : 문제상황으로부터 구하려는 것과 주어진 것 사이의 관계를 찾아 그 관계를 식으로 나타낸 후, 이 식이 풀렸다고 가정하고 등식의 성질을 이용하여 방정식을 거듭 변형하면서 방정식이 참이 되기 위한 필요조건을 찾는 과정

      ⓒ 작도에서의 분석법 : 주어진 조건을 만족하는 도형을 작도했다고 가정하고, 그 도형을 작도하는데 필요한 도형을 찾아 작도하는 방법

 

    ㉯ 종합법 : 공리와 공준에 근거하여 가정으로부터 결론을 이끌어내는 방법 / 그 계획을 실행하는 과정

      ⓐ 방정식에서의 분석법 : 방정식이 참이되기 위한 필요조건으로 발견한 해가 방정식을 참이 되게 하는 충분조건도 되는지 알아보면서 필요충분조건이 되는 해를 찾는 과정.

 

    ㉰ 분석법을 이용하는 활동의 수학교육적 의의 : 증명방법을 발견할 수 있다 / 증명의 과정을 파악할 수 있다

 

② 문제를 해결할 수 있는 보편적인 방법 - 구체적인 3단계(데카르트)

    ㉮ 어떤 문제이든 수학문제로 환원하라

    ㉯ 어떤 수학문제이든 대수문제로 환원하라

    ㉰ 어떤 대수문제이든 한 방정식의 풀이로 환원하라

 

  ③ 라이프니츠 : 모든 문제를 해결할 수 있는 일반적인 알고리즘을 찾으려고 노력 → 모든 문제를 기호의 조작에 의해 기계적으로 해결할 수 있다고 본 미적분학의 창안

 

4. 지식의 구분 (폴리아, 쉐플러)

폴리아	쉐플러
정보 ( know what )	어떤 명제를 안다는 점에서 명제적 지식
방법직 지식 ( know how )	어떤 행위의 진행 순서를 안다는 점에서 절차적 지식

 

 

5. 수학적 사고 과정 (폴리아)

 (1) 완성된 수학 : 연역적 과학

 (2) 발생 과정의 수학 : 실험적이고 귀납적인 과학

 (3) 수학적 사고 과정 : 수학적 사고 과정에서 먼저 귀납, 유추, 추측이 있은 다음 증명이 뒤따라야 하며, 따라서 수학의 창조적인 연구의 결과는 개연적 추론과 추측에 의해 발견된다.

 

문제해결 과정과 문제제기

 

1. 문제해결 과정

 (1) 문제 이해 단계 

  ① 개념 : 구하는 것과 주어진 것을 이해하고, 용어를 파악하여 문제를 분석하는 단계

  ② 문제 이해 단계에서의 발문 : 미지인 것은 무엇인가 / 주어진 것은 무엇인가 / 조건은 무엇인가 / 그림을 그려보아라 / 기호를 붙여보아라 / 조건을 여러 부분으로 분해해 보아라

 

 (2) 해결 계획단계 

  ① 개념 : 구하는 것과 주어진 것 사이의 관계를 파악하는 단계

  ② 해결 계획 단계에서의 발문 : 유사한 문제를 풀어 본 적이 있는가? / 보다 쉬운 관련된 문제를 생각 해낼 수 있는가? / 문제를 보다 일반적인(or 특수한) 형태로 변형할 수 있는가? /  문제를 부분적으로 풀 수 있는가? / 문제에 필요한 조건을 모두 사용했는가?

  ③ 해결 계획 단계에서의 보조문제 고려하기

    ㉮ 주어진 것과 구하려는 것 사이의 관련성을 즉각적으로 발견할 수 없을 때에는 보조문제를 고려해야 한다.

    ㉯ 보조문제의 장점 : 보조문제를 해결한 방법이 원래 문제를 해결하는 데 실마리를 제공한다.

 

 (3) 계획 실행 단계

  ① 개념 : 앞의 이해와 계획의 단계를 실행에 옮기는 단계

  ② 계획 실행 단계에서의 발문 : 풀이의 각 단계를 조심스럽게 실행하도록 하라/ 각 단계가 올바른지 명확히 알 수 있는가? / 그것이 옳다는 것을 설명할 수 있는가?

 

 (4) 반성 단계

  ① 개념 : 문제를 해결한 과정을 처음부터 검토해 보고, 다른 방법으로 해결할 수는 없는지를 알아보고, 혹시 다른 방법이 있으면 어느 방법이 더 나은지를 생각해 보는 단계

  ② 반성 단계에서의 발문 : 결과를 점검할 수 있는가? / 풀이 과정을 점검할 수 있는가? / 결과를 다른 방법으로 이끌어 낼 수 있는가? / 결과나 방법을 어떤 다른 문제에 활용할 수 있는가?

 

2. 수학 학습 지도 원리 (폴리아)

 (1) 활동적 학습의 원리 : 학습자는 주어진 상황에서 배워야 할 내용을 스스로 발견해야 한다.

  ① 교사가 학생의 지식 획득 과정에 지나치게 개입하지 않아야 하며, 학생이 가능한 한 스스로 발견하도록 도와주어야 한다.

  ②학생에게 생각하는 시간을 충분히 제공함으로써 ㅅ스로 발견하고 이해하도록 하는 것이 중요하다.

  ③교사는 학생을 돕기 위해 적절한 질문을 던지고, 필요한 경우 권고를 함으로써 학생의 학습 과정을 유도해야 한다.

 

 (2) 최선의 동기유발 원리 : 학습자는 배울 내용에 대해서 흥미를 가져야 하며 학습 활동에서 즐거움을 찾을 수 있어야 한다.

  ① 교사는 지식의 세일즈맨으로써 수학이 흥미있고 노력할 가치가 있음을 학생들에게 확신시켜야 한다.

  ② 학생의 경험과 관련이 있고 학생에게 의미가 있도록 문제를 선정하고 제시함으로써 학습내용 자체에 지적 호기심을 갖게 하고, 학습 그 자체에서 오는 기쁨과 발견의 희열을 경험하도록 해야 한다.

  ③ 결과를 추측하고 발표하게 하는 것은 학습동기를 유발하고 지속시키는 한 방법이 될 수 있다.

 

 (3) 비약 없는 단계의 원리 : 효과적인 학습은 탐구 단계를 지나 언어화와 개념 형성 단계로 나아가야 하며 학습자의 정신적 태도의 통합과 형성에 기여해야 한다.

  ① 탐구단계 : 행동과 지각을 통해 직관과 발견이 이루어지는 단계 - 학습자는 다양한 수학적 개념을 경험하고 이해하는 기회를 얻는다.

  ② 형식화단계 : 개념과 용어의 정의, 증명이 도입되는 단계 - 수학적 개념을 보다 체계적으로 이해하고, 정확한 용어와 증명을 통해 그 개념을 더욱 명확하게 표현한다.

  ③ 동화단계 : 교재의 내적인 바탕이 인식되어 정신적으로 소화되고, 학습자의 정신적인 안목으로 흡수되어 적용과 보다 높은 일반화가 가능해지는 단계

 

 

3. 수학적 모델링

 (1) 의미 : 실세계의 여러 현상을 수학적인 수단에 의해 정리하고 조직하는 활동

 

 (2) 과정

 

  ① 현상을 관찰하여 그 현상 속에 내재되어 있는 문제 상황을 명료히 밝히고 문제에 영향을 미치는 중요한 요인들을 찾는다.

  ② 요인들의 관계를 추측하고 그 요인들을 수학적으로 해석하여 현상에 적합한 모델을 구축한다.

  ③ 적절한 수학적 분석을 그 모델에 적용한다.

  ④ 결과를 얻고 현상에 맞도록 그 결과를 재해석하여 결론을 도출한다.

 

 (3) 수학적 모델링을 통해 수학교육에서 달성할 수 있는 목적

  ① 새로운 수학적 개념과 방법을 이해한다.

  ② 실생활 또는 다른 교과에서의 수학의 응용과 모델링의 실제를 이해한다.

  ③ 창의적 사고와 문제해결 태도, 활동, 능력을 기른다.

  ④ 수학을 활용하여 실생활 또는 다른 교과와 연결된 맥락을 비판적이고 합리적으로 사고하려는 태도를 기른다.

  ⑤ 수학이 이미 완성된 산물이 아니라, 인간 활동의 결과로 만들어진 것임을 이해한다.

 

 (4) 수학적 모델링과 문제해결의 차이점 : 수학적 모델링은 문제해결의 특징을 지니지만 비수학적 문제 상황에서 출발한다는 점에서 차이가 있다.

 

 (5) 2022개정 교육과정에서의 수학적 모델링 - 교수학습방법

  ① 교수학습방안 : 수학적 모델링은 학생의 삶과 연계된 현상을 다양한 수학적 표현 방식을 이용하여 수학적 모델로 만들고 수학적 모델을 다시 실생활이나 사회 및 자연 현상에 적용하는 교수 · 학습 방안으로, 수학의 응용에 대한 넓은 안목을 갖게 할 수 있다.

 

  ② 범교과 학습 또는 타 교과와의 연계를 고려하여 수학 교수 · 학습 과정을 설계할 수 있다.

    ㉮ 범교과 학습 주제에 관심을 갖고 각종 자료와 정보를 수집하여 수학적으로 분석 및 해석하게 하고, 수학적 분석 결과에 근거하여 토의와 토론에 참여하게 한다.

    ㉯ 가정, 학교, 지역사회와의 연계나 타 교과와의 연계를 고려하여 범교과 학습 주제에 대한 프로젝트를 수행할 수 있다.

    ㉰ 수학적 모델링을 활용하여 타 교과의 내용을 맥락으로 수학의 개념, 원리, 법칙 등을 다루는 연계 수업을 할 수 있다.