준경험주의 - 라카토스

라카토스 준경험주의

 

1. 수학관 : 수학은 '추측 - 증명 - 반박'의 논리에 의한 추측의 끊임없는 개선을 통해 성장하는 '준경험적 과학'이다.

 

2. 증명관 : 증명이란 원래 추측을 더 많은 부분추측으로 분해하는 사고실험이다. 

  → 이렇게 추측을 부분 추측으로 분해하여 놓으면, 부분 추측 하나하나에 대한 비판을 할 수 있으므로 반박하기가 더 쉬워진다.

 

 (1) 증명의 본질 : 사고실험

  ① 증명의 본질이 사고실험이라는 것은, 준경험적인 학문 체계로서의 수학에서 증명이 발견의 수단임을 시사한다.

  ②  증명이 곧 사고실험이라는 관점은, 사고 실험을 통한 증명의 재검토 과정에서 반례에 의해 증명과 추측을 반박하고 개선함으로써 새로운 개념을 발견할 수 있음을 시사한다.

    ※ 사고실험 : 머릿속에서 어떤 대상들을 다루면서 사고 활동의 결과를 관찰하는 것

 

  

 (2) 증명 절차

  ① 증명이 추측을 부분 추측 또는 보조 정리로 분해하여 그것을 가능한 한 멀리 떨어져 있는 지식체에 포함시키는 것이라는 라카토스의 관점은, 분석적 방식으로서의 증명을 강조한 것으로 해석할 수 있다.

 

 

반례

 

1. 종류 

 (1) 전면적 반례 : 원래의 추측을 반박하는 반례

 (2) 국소적 반례 : 부분추측을 반박하는 반례

 

2. 전면적 반례에 대한 대응 방식②

 (1) 추측이 틀렸다고 인정한다.

 

 (2) 괴물배제법 : 추측은 증명되었으므로 옳고, 반례가 잘못되었다고 보고 반례를 배제하여 원래의 추측을 존속시키는 것

  ① 추측에 포함되는 개념을 재정의하여 반례를 추측이 성립하는 영역 밖으로 몰아내고, 추측을 살리는 방법

  ② 용어가 처음보다 정교하게 정의된다.

 

 (3) 예외배제법 : 새로운 반례가 나타날때마다 예외에 대해 언급한 조건절을 추가하여 안전한 영역으로 철수하는 방법

  ① 정의, 증명을 수정하지 않는다.

  ② 과대 · 과소의 일반화를 초래할 수 있다.

 

 (4) 보조정리합체법 : 반례의 원인이 되는 부분 추측을 찾아 그것을 원래 추측에 합체시키고 증명을 고치는 방법

  ① 보조정리합체법에서는 새로운 추축을 발견하는 과정과 그 추측을 증명하는 과정이 동시에 이루어진다.

 

수학적 지식의 성장과정

 

1단계 : 수학적 추측을 제기하는 단계

2단계 : 추측을 부분 추측으로 분해하는 단계

3단계 : 반례가 등장하고 추측과 증명을 반박하는 단계

4단계 : 증명을 검토하여 증명과 추측을 개선하는 단계

 

오류주의 수업 모형

 

수학교육학신론 발췌

 

 

1. 소박한 추측 과정

 (1) 소박한 추측 → 증명

  ① 증명은 사고 실험이라는 발견 과정을 거쳐야 한다.

  ② 학생이 힘들어하면 교사가 사고 실험 과정을 제시해 줄 수도 있다.

 

 (2)  증명-분석 , 반례출현

  ① 증명을 엄밀하게 하는 활동보다는 증명을 주의깊게 분석하는 활동이 중요하다.

  ② 증명에서 사용된 보조 정리를 의심하거나 반례를 찾도록 유도하여 증명을 분석하고, 증명을 개선하거나 감추어진 보조 정리를 분명히 드러내어 그것을 조건으로 추가하여 추측을 개선하게 한다.

 

 (3) 개선된 추측

  ① 반박이 실패하면 그 추측은 잠정적으로 참인 것으로 인정된다.

  ② 개선된 추측에 대한 반례가 다시 제안되면 증명을 다시 분석하거나 새로운 증명을 찾아서 추측을 개선해 나갈 수 있으며, 한편으로는 추측의 검사 과정에서 얻어지는 증명 아이디어를 사용하여 연역적 추정으로 나아갈 수도 있다.

 

2. 연역적 추측 과정

 (1) 증명 → 연역적 추측

  ① 문제 상황에서 어떤 단서, 곧 증명 아이디어를 발견하고 그것을 토대로 하여 연역해 나감으로써 추측을 얻는 것

  ② 소박한 추정 과정에서 발견되는 기초 명제나 감추어진 보조 정리가 증명 아이디어로 사용도리 수도 있다.

 

 (2) 증명 - 분석, 반례출현 → 개선된 추측

  ① 연역적 추측이 연역에 의해 얻어진 것이라 해서 비판의 여지가 없는 완벽한 것은 아니며, 반례가 제안되면 증명 아이디어와 증명을 분석하여 추측을 개선하는 활동을 할 수 있다.