수학 문제해결 교육론 - 폴리아 (2) / 문제제기, 귀납 유추, 문제해결 전략

문제제기

 

1. 문제제기의 의미와 중요성

 (1) 문제제기의 구분

  ① 문제해결 과정의 계획 단계에서 문제를 해결하기 위한 수단으로써 유사한 문제를 생각해 보는 것

  ② 문제를 해결한 후 반성 단계에서 결과를 이용해 새로운 문제를 제기하는 것

 

 (2) 문제제기의 의미

  ① 문제를 해결하는 과정에서 새로운 문제를 제기함으로써 원래의 문제를 재해석하게 되고 원래 문제를 해결할 수 있는 단서가 생기게 되며,

  ② 새로운 문제를 만들어 봄으로써 원래의 문제를 이전과는 다른 새로운 관점에서 볼 수 있게 함으로써 그 의미를 보다 명확하게 이해할 수 있게 할 뿐만 아니라 그로부터 새로운 생각을 하게 하기도 한다.

 

 (3) 문제제기는 주어진 문제를 해결하는 수단이 될 수 있다.

 

 

2. PBL 학습 (문제중심학습)의 이해

 : 실생활에서 접하게 되는 문제와 유사한 비구조적인 문제 상황의 제시로부터 학습을 시작하고, 학습자가 문제를 해결하기 위해 필요한 지식과 정보를 스스로 탐구하여 적절한 해결책을 찾는 과정을 통하여 학습하는 교수 · 학습 방법

 

 

3. 문제제기 유형

 (1) 수용 : 주어진 조건을 변형하지 않고 탐구하면서 문제를 제기하는 방법

  ① 현상을 가지고 할 수 있는 일 : 현상을 탐구하여 관찰, 질문, 추측하는 것

  ② 외적 탐구 대 내적 탐구 : 사물이나 대상을 탐구할 때, 전체적으로 다른 현상과 관련성을 보는 것(외적탐구)과 그 사물이나 대상의 각 부분들의 관련성을 보는 것(내적탐구)이다.

  ③ 정확한 탐구 대 근사적 탐구 : 문제 제기에서 정확한 정답을 구할 수 있는 것만을 제기해야 하는 것이 아니라 근사적 답을 구하여 부족한 부분이 무엇인지를 알아보는 것이다.

  ④ 역사적탐구 : 역사적 사고에 따라 의미 있는 문제를 제기하는 것이다.

  ⑤ 사용하기 간편한 질문 목록 : 문제생성을 위한 출발점이 될 수 있는 질문 목록

 

 (2) 도전 : 새로운 방향으로 나아가기 위하여 주어진 것을 뒤집어 보고, 거꾸로 해 보고, 조금 변형해 보는 단계

  ①What if not 전략

    ㉮ 출발점 선택하기

    ㉯ 속성 열거하기

    ㉰ 'What if not' 수행하기 (속성 부정하기) : 전 단계에서 열거한 속성이 '만약 그렇지 않다면 어떻게 될 것인가'라는 의문을 가져본다.

    ㉱ 문제 제기하기

    ㉲ 설정된 문제 분석하기 : 새로 만든 문제를 분석하거나 해를 구한다.

 

 

4. 문제제기의 역할

 (1) 교사의 성급한 발문의 한계 - 교사의 성급한 개입은 학생 스스로 탐구하거나 시행착오를 거쳐 학습할 수 있는 환경을 방해할 수 있어 바람직하지 않다.

  ① 학생이 제시된 문제를 거의 해결할 단계에 와 있으면 학생은 이러한 발문에 함의된 암시를 이해할 수도 있지만 그렇지 못한 경우라면 학생은 그 발문이 무엇을 이끌어내고자 하는지를 전혀 알지 못할 것이다.

  ② 이러한 발문이나 권고는 해결의 실마리를 직접적으로 제시함으로써 학생들이 해야 할 것을 거의 남겨 놓지 않는다. 뿐만 아니라 학생은 교사가 어떻게 그와 같은 발문을 하고자 한 생각에 도달했는지를 이해할 수 없다.

  ③ 이러한 발문이나 권고는 지나치게 구체적이고 특수한 것으로, 학생은 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있을지는 모르지만 이러한 발문으로 문제를 해결한 경험은 미래에 다른 문제를 해결하는 데는 별 도움이 되지 못한다.

 

 

 (2) 문제제기의 역할과 중요성

  ① 창의적 능력이나 특별한 수학적 능력의 발현에 도움을 준다.

  ② 탐구 지향적인 학습 태도를 길러준다.

  ③ 학생들의 수학에 대한 이해 정도를 파악할 수 있는 기회를 제공한다.

  ④ 학생들에게 이미 배운 지식을 종합적으로 이용할 수 있는 기회를 제공한다.

  ⑤ 학력 수준이 낮은 학생들에게도 의미 있는 수학 학습활동을 제공한다.

  ⑥ 수학에 대한 긍정적인 성향을 함양시키는 수단이 된다.

 

---

 

귀납추론과 유추, 은유

 

1. 귀납추론

 : 실험, 관찰을 통해 몇 개의 사례에 대해 명제가 참임을 보인 후 사례들이 속한 전체 범주의 대상들에 대해 명제가 참이라고 주장하는 것

 

2. 유추

 : A라는 대상과 B라는 대상이 유사할 때, A에서 성립하는 성질 P(A)와 유사한 성질인 P(B)가 B에서 성립할 것이라고 주장하는 것

 

 (1) 귀납추론과 유추의 공통적인 특징, 한계

  ①  수학적 사실을 발견하는 중요한 수단이다.

  ② 개연성이 높은 추론이지만 귀납추론 또는 유추로 발견된 수학적 추측이 항상 참인 명제인 것은 아니므로 증명을 필요로 한다.

 

3. 은유 : 어떤 이름이나 서술적 용어를 글자 뜻 그대로 적용할 수 없는 대상에 적용하는 것, 어떤 경험을 다른 경험과 연결하여 그 관계로부터 의미를 창안하는 것

 

---

 

문제해결 전략

 

1. 예상과 확인 : 문제의 답을 예상해보고, 그 답이 문제의 조건에 맞는지 확인해 보는 과정을 반복하여 문제를 해결해 나아가는 전략

2. 표 만들기 : 문제해결방법을 모색하기 위한 보조전략

3. 그림 그리기

4. 식 세우기

5. 규칙성 찾기

6. 거꾸로 풀기 : 문제의 구성을 가정과 결론으로 나눌 때 가정에 찾고자 하는 요소가 있는 경우, 문제 목표나 증명해야 할 사실로부터 시작하여 무엇을 말할 수 있는가를 생각해 나가는 방법

7. 단순화 하기

8. 특수화 하기

9. 유추하기

10. 간접증명법

 (1) 귀류법 : 결론을 부정하여 부정된 결론으로부터 가정과 모순되는 사실을 이끌어 냄으로써 결론이 참이어야 함을 보이는 방법

 (2) 분할법 : 가능한 경우를 여러 개로 나누어 그 일부가 모순됨을 보이고 그 외의 것이 참임을 보이는 방법

 (3) 동일법 : 조건을 만족하는 대상이 두 개 있다고 가정하고 그로부터 그 두 개가 같게 됨을 보이는 방법