프로이덴탈의 수학 학습 심리학

교수학적 현상학

 1. 개념 : 수학적 개념과 구조라는 본질을 그 본질이 조직의 수단으로 작용하는 현상과 관련하여 기술하고 교수학적으로 적용하는 것

 

2. 반교수학적 전도 : 수학의 연역적인 체계만을 중시하고 그것을 초등화하여 지도하는 것

  →수학의 출발점은 가능한 한 구체적인 학생의 현실이어야 한다.

 

 

수학화 교수 · 학습 

 

1. 수학화 : 현상이 그것을 정리하는 수단인 본질로 조직되고 그 본질은 다시 현상이 되어 새로운 본질로 조직되는 끊임없는 재조직화 과정

 

2. 수학화 과정 : 현상과 본질의 교대작용에 의해 수준 상승이 일어나는 불연속적인 과정

    이때 현상은 현실적인 경험일 수도 있고 수학적인 경험일 수도 있다.

 

3. 트레퍼스의 수학화

 (1) 수학화 : 수평적 수학화와 수직적 수학화가 교대로 일어나는 과정

 (2) 수평적 수학화 : 현실 내의 문제 상황을 형식적인 수학적 처리가 가능하도록 변환하는 것

 (3) 수직적 수학화 : 세련된 좀 더 높은 수준의 수학적 처리가 가능하도록 하는 것

 

 

 

수학화 교수 학습의 원리

 

1. 안내된 재발명

 (1) 개념

  ① 학습자는 인류의 학습 과정을 수정된 방식으로 재현

  ② 학생들은 교사의 안내하에 감정이입될 수 있는 현실로부터 수학화 활동에 의해 주관적 의미를 갖는 수학적 내용을 재발명해 나가는 과정을 학습 과정에서 반드시 경험해야 한다.

  ③ 아동의 정신적 발달은 역사를 그대로 재현하는것이 아니라 아동의 현실을 출발점으로 해서 이미 발명된 수학을 아동 스스로 개선된 방법에 의해 재창조해 나가는 것이다.

 

 (2) ≒ 역사 발생적 원리 (안내된 재발명은 역사 발생적 원리와 맥을 같이 한다.)

  ① 역사적 방법 : 학습 내용을 조직할 때 인류에 의해 발견된 순서대로 정해야 한다.

  ② 발생적 원리 : 수학의 개념을 '발생되는 것'으로 보고 그 발생을 수업 과정에서 재실행하는 것

 

ex ) 음수 개념
: 음수 개념은 방정식과 그 해집합의 구조를 완전하게 이해하려는 형식적 요구로부터 생겨난 것이므로 음수개념을 직관적 모델로 설명하는 것에는 한계가 있다.
 → 음수의 형식적 본질을 감안한다면 음수 지도는 자연수 체계에서 확장된 순수한 형식 체계로서 지도하는 게 바람직하다.
 이처럼, 자연수로부터 정수로 확장하는 것과 같은 수 체계의 확장에서 하나의 원칙이 되는 것이 형식 불역의 원리이다.

※ 형식 불역의 원리 : 대수적 또는 기하적 구조를 확장할 때 기조의 체계에서 인정된 성질이 유지되도록 해야 한다는 원리

 

 (3) 안내된 재발명을 가능하게 하기 위한 '사고실험'

  ① 수업 장면과 관련된 사고실험 : 교사나 교과서 저자가 한 학생 또는 한 그룹의 가상적 학생들의 반응을 생각하면서 그에 따라 가르치거나 저술하는 태도

  ② 수업 내용과 관련된 사고실험 : 어떤 수학적 개념을 발명했거나 수학적 방법을 개선한 수학자의 마음속에 어떤 일이 일어났는지에 대해 추측하는 것

  ③ 사고실험의 의의

    ㉮ 수업장면과 관련된 사고실험의 의의 : 학생들에게 적절한 질문을 하거나 예기치 못한 궁금증에 적절한 답을 줄 수 있다.

    ㉯ 수업내용과 관련된 사고실험의 의의 : 수학자가 발명한 개념과 방법을 이해해서 수학자의 접근방법처럼 설명할 수 있다.

 

 

 

2. 반성적 사고

 (1) 수학적 사고수준

  ① 사고수준의 종류 : 바닥 수준, 탐구수준

  ② 바닥 수준에서의 활동은 탐구 수준에서의 수학적 활동을 준비하는 예비 수학적 활동이다.

  ③ 바닥 수준의 활동이 탐구 수준에서 반성됨으로써 비로소 학생의 학습 과정에서 수학이 시작되므로 바닥 수준의 활동은 필수적이다.

  ④ 이것이 바로 학생의 현실적 경험을 수학화하는 것이며(탐구 수준에서의 활동 ≒ 수평적 수학화), 바닥 수준에서의 수학화 활동이 계속적인 수준의 비약에 의해 좀 더 세련된 수학으로 발달(탐구 수준에서의 활동 ≒  수직적 수학화)하는 것이다.

 

 (2) 반성적 사고

  ① 반성 : 자신의 행동과 사고를 의식화해서 객관적으로 분석하는 행동.

      = 자신을 다른 사람에게 비추어 탐구하고, 이해하는 것으로부터 시작하여 자기 자신을 비추어 보는 것

      = 자신의 사고를 사고의 대상으로 삼는 것

    → 자신의 사고와 행동에 대해 당연하다고 생각했던 부분에 의문을 제기함으로써 시작된다.

 

  ② 반성적 사고는 수학화 과정에서 근본적으로 수준의 상승을 가능하게 하는 중요한 정신적 활동이다.

  ③ 반성적 사고의 의의 : 반성적 사고를 통해 자신의 사고와 행동에 대해 당연하다고 생각했던 부분에 대해 의문을 제기하게 함으로써, 학습자 자신의 사고와 행동을 의식하고 확실성을 추구하는 수학적 태도를 길러주는 것이 중요하다.

 

 

3. 현실과 결부된 수학 : 수학적 개념, 관계, 구조로 정리될 필요가 현실로부터 출발하여 그 정리 수단인 본질로서 수학을 학습하도록 해야 한다.

 

 

4. 심상 구성의 원리

 (1) 개념의 형식화에 앞서 학생으로 하여금 개념의 발생 맥락을 경험하게 하고, 개념에 대한 심상을 구성하게 한 후 계속적으로 사고가 비약되게 해야 한다.

 (2) 심상의 구성이 개념획득에 선행되어야 한다는 입장은 학습의 준비성을 중시하는 것으로 이해를 위한 전략으로 단지 개념의 활동적 · 영상적 · 상징적 표현으로의 번역 제시를 주장한 브루너의 이론과 반대된다.

 (3) 개념획득 후 적용이란 교수전략은 현상의 정리수단으로서의 본질에 대한 심상의 구성을 중시하는 수학화 접근법에서 볼 때 전도된 것이다.

 

 

5. 전형적인 보기를 통한 개념 지도

 (1) 수학적 개념이나 원리, 법칙은 여러 가지 보기의 관찰로부터 귀납적으로 얻어지는 것이 아니라 전형적인 보기로부터 곧바로 그 구조를 파악하여 획득된다.

 

 (2) 귀납적 이해 : 여러 가지 보기의 관찰로부터 귀납적으로 획득되는 것

 (3) 각지 : 전형적인 보기로부터 곧바로 그 구조를 파악하여 획득하는 것

 

 

수업에서의 수학화 과정

 

1. 직관적 탐구단계 : 문제의 수학적 측면들을 알아내고 규칙성을 발견하는 단계

 

2. 수평적 수학화 단계 : 학생들 간, 교사와 학생 간의 상호작용과 학생의 형식화 추상화에 의존하여 현실로부터 수학적 개념을 추출하는 단계 → 수학화 과정에 대한 반성이 필수적이다.

 

3. 수직적 수학화 단계 : 추상화와 형식화가 중심인 단계 → 예상되고, 발생되는 수학적 개념에 대한 기술과 엄격하고 형식적인 정의가 뒤따른다.

 

4. 응용적 수학화 단계 : 개념을 새로운 문제에 적용함으로써 개념을 강화하고 일반화하는 단계

 

 

기하 교수 · 학습 이론

 

1. 강조점 : 학습자의 실제로부터, 그리고 증명이 조직화의 수단으로 요구되는 현상을 학습자에게 제시함으로써 증명이 자연스럽게 도입되어야 한다.

 

 

2. 기하 재발명에서 중심적인 활동 : 국소적 조직화

 (1) 국소적 조직화 : 학습자가 접해있는 영역에서 참이라고 인정되는 사실 즉, 학습자의 실제로부터 시작해서 부분적으로 조직화하는 것

 (2) 전체적 조직화 : 기하의 전체 영역을 정의와 공리, 공준으로부터 시작하여 조직하는 것

 

 

3. 기하영역에서의 수학화 단계

 (1) 주변 현상을 도형이라는 본질로 조직 : 학생들에게 주변현상을 관찰하여 공통점을 발견하고, 발견한 공통적 특성에따라 모양을 분류하게 한다.

 

 (2) 도형의 성질 발견 : 전형적인 예를 통해 성질 발견하게 한 후 성질들 사이의 관계를 조사하도록 안내한다.

      →  연역이나 증명의 필요성이 생기는 단계

 

 (3) 국소적 조직화 : 정의하기, 증명하기

  ① 정의하기 : 성질들이 어떻게 관련되는가를 조직화하기 위해 어느 하나를 다른 것들을 이끌어내는 기본 성질로 설정하는 것

  ② 증명하기 : 성질들을 증명을 통해 국소적으로 조직화해서 학생 스스로 명제를 만드는 경험을 하는 것

 

 (4) 전체적 조직화 : 공리화

 (5) 존재론적 결합 끊기 : 수학을 완전한 형식 체계로 보는 것

 

 

4. 국소적 조직화로 증명을 지도하는 것이 수학 교수 · 학습에 주는 의의

  : 학생 스스로 명제를 만들어봄으로써 조직화 수단으로서의 증명의 필요성이 부각된다.

 

 

5. 국소적 조직화를 이용한 교육지도

 

학생들이 참이라고 인정하는 성질 찾기

→

학생이 찾은 성질과 성질 사이의 관계를 명제로 만들어 증명하기

→

성질들의 관계를 조직화하기 위해 어느 하나를 다른 것들을 이끌어내는 기본 성질로 설정하기

 

 

6. 현재 증명 교육의 실패 원인 : 학생들에게 연역을 재발명 방법으로 지도하지 않고 강제로 부과했기 때문에

 

 

 

7. 정의 - 정리 - 증명의 순서로 진행되는 증명교육의 문제점

 (1) 정의, 정리, 증명의 의미

  ① 정의 : 처음에 제시되는 것이 아니라 여러 명제를 논리적으로 연결하기 위한 연역의 고리로서 필요한 것

  ② 증명 : 여러 성질들을 조직하기 위한 활동

  ③ 정리 : 이러한 조직화 활동의 결과물

 

 (2) 정의 - 정리 - 증명의 순서로 진행되는 증명교육은 지식의 자연스러운 발생의 순서를 거꾸로 뒤집는 오류를 범하는 것으로써 이는 반교수학적 전도된 것이다.