반힐레의 수학 학습 심리학

기하 학습 수준

 

1. 제1 수준 : 시각적 인식 수준

 (1) 주변현상을 사고의 대상으로 하여 도형을 사고의 도구로 인식하는 수준

 (2) 도형을 전체적인 모양새로 인식하고 도형의 성질에는 주목하지 못한다.

 (3) 관찰에 근거하여 판단하고 판단에는 아무런 이유가 없다.

 

2. 제2 수준 : 기술적 · 분석적 인식 수준

 (1) 도형을 사고의 대상으로 하여 도형의 성질을 사고의 도구로 인식하는 수준

 (2) 도형의 구성요소와 성질에 대한 비형식적인 분석(관찰, 실험)을 통해 도형을 파악한다.

 (3) 도형들 사이의 포함 관계를 모호하게 인식하며, 도형에 대한 개인적 특성화에 의해 포함 관계를 거부하기도 한다.

 

3. 제3 수준 : 관계적 · 추상적 인식 수준

 (1) 도형의 성질을 사고의 대상으로 하여 도형의 성질과 성질 사이의 관계인 명제를 사고의 도구로 인식한다.

 (2) 개념의 추상적 정의를 형성하고, 개념의 성질들에 대한 필요조건과 충분조건을 구분한다.

 (3) 도형의 성질들을 정렬하여 도형을 위계적으로 분류할 수 있고,

      도형의 분류를 정당화하기 위해 비형식적 논증을 제시한다.

    ※ 비형식적 논증 : 공리 · 공준이나 정의를 이용한 증명이 아닌 학생의 실제로부터 출발하는 것

 

 (4) 연역적 추론을 완전히 이해하지는 못하며 소규모로 또는 국소적으로 파악된다.

  ① 연역적 추론 : 정리, 공준, 공리, 이미 참이라고 알려진 성질 등을 이용하여 새로운 참인 명제를 이끌어 내는 것

    ㉮ 비형식적 연역추론 : 정리, 이미 참이라고 알려진 성질을 이용하는 연역추론 → 3 수준

    ㉯ 형식적 연역추론 : 공준, 공리, 정의를 이용하는 연역추론 → 4 수준

 

4. 제4 수준 : 형식적 연역 수준

 (1) 명제를 사고의 대상으로 하여 명제들 사이의 논리관계를 사고의 도구로 인식한다.

 (2) 무정의 용어, 정의, 정리 사이의 논리적 차이점을 인식한다.

 (3) 연역적 추론을 이해하여 형식적 증명을 구성할 수 있다.

 

5. 제5 수준 : 엄밀한 수학적 수준

 (1) 여러 수학 체계에 대하여 형식적으로 추론할 수 있는 수준

 

기하 학습 수준의 성질

 

1. 사고는 상대적인 수준이 있는 불연속적인 활동으로서 수학 학습에서 하위 수준을 통과하지 않고는 상위 수준에 도달할 수 없다.

2. 모든 학생이 같은 속도로 각 수준을 통과하는 것이 아니다. 이전 수준에서 다음 수준으로의 발달은 나이나 신체의 성숙보다 교육의 내용이나 방법에 많이 의존한다.

3. 이전 수준에서 사고의 도구였던 것이 다음 수준에서는 사고의 대상이 된다.

4. 서로 다른 수준에서 추론하는 두 사람은 서로 이해할 수 없다.

 

 

교수 · 학습 단계

 

1. 탐색단계

 (1) 교사와 학생 사이의 대화를 통해 새로운 학습 주제를 소개하는 단계

 (2) 학생은 주어진 자료와 필요한 논의를 통해 탐구할 분야에 친숙해지기 위한 활동을 하면서 앞으로 공부할 과제의 방향이 무엇인지 배운다.

 (3) 교사는 학습할 주제에 관한 학생의 선행지식을 파악하여 학습에 도움을 주고 질문하며 관찰을 수행한다.

 

2. 안내된 탐구단계

 (1) 학생은 신중하게 계열화된 활동을 통해 새로운 학습 주제의 특징에 익숙해진다. 

 (2) 교사에 의해 제공된 자료를 통해 학습주제를 탐구하면서 그 진행 방향을 감지하고 탐구분야의 구조를 점진적으로 파악한다.

 (3) 교사는 학습 주제를 탐구하는 활동에 학생이 능동적으로 참여하도록 하기 위해 조심스럽게 설명해 나간다.

 

3. 명료화 단계

 (1) 학생의 교사의 개입이 최소인 상태에서 자신의 개념화와 어휘를 정련시킨다.

 (2) 안내된 탐구 단계에서 익숙해진 새로운 학습 주제를 표현하는 활동을 통해 그것을 명확히 하며 전문적인 용어를 학습한다. 

 

4. 자유로운 탐구 단계

 (1) 학생은 문제해결의 성격을 갖는 보다 복잡한 과제에 도전한다.

 (2) 학생은 여러 가지 해결 방법을 찾아봄으로써 탐구 분야의 구조에 정통하게 되며, 그 과제를 완성한 후에 공부한 그 영역 안에서 스스로 자신의 나아갈 바를 정해서 새로운 관련성을 찾는다.

 

5. 통합 단계

 (1) 학생은 자신이 관찰한 내용을 재검토하고 요약하며, 대상과 관계의 새로운 그물망을 형성하기 위해 그동안 배운 새로운 개념과 관련성을 통합한다.

 (2) 학생은 탐구 활동을 개관하여 전체를 조망하게 되면서 사고 수준의 비약에 이르게 된다.

 (3) 이전의 활동을 반성하고 관찰한 것을 명료하게 정리할 수 있도록 전체적인 개관을 제시하며 돕는다.

 

 

기하 학습 수준의 상승을 위한 교수 · 학습 단계에 따른 지도

 

1. 한 수준에서 다음 수준으로의 발전은 생물학적 성숙이나 발달에는 거의 의존하지 않으며, 교수 · 학습 과정에서의 교육 내용과 방법에 더 많이 의존하는 바, 교사는 학생의 수준의 발전을 촉진할 수 있다.

 

2. 위와 같은 교수 · 학습 단계를 통해 수준의 비약이 가능하도록 하기 위해서는 교사의 일방적인 설명이 아니라 학습자 스스로의 탐구 활동이 가장 중요한 요인이다.