교수학적 상황론 _ 브루소

 

교수학적 상황

 

1. 교수학적 상황

: 교사가 학생들에게 제시할 자료를 신중하게 선택하여 인지적 불균형을 야기하고 기대했던 적응을 이끌어내려고 시도하는 상황

, 교수학적 의도가 드러나는 상황

 

2. 비교수학적 상황

: 교사의 도움 없이도 수학적 지식이 문제해결의 도구로 적용되고 기능 할 수 있는 상황

, 교수학적 의도가 숨겨져 있는 상황

 

3. 책임의 양도 : 교수학적 상황이 비교수학적 상황으로 변환되기 위해 학습의 책임이 교사에서 학생으로 넘어가는 것

 

4. 교육학적 계약 : 교사는 학생을 가르치고 학생은 배워야 한다는 묵시적 계약

 

- 딘즈효과 : 교사가 교수학적 의무를 다하지 않아 학생의 학습이 적절하게 이루어지지 않는 상황

- 교수학적 계약이 과도하게 이행될 경우 : 교사는 자신이 준비한 상황을 강요하게 될 수 있고, 학생은 교사에 의한 지도를 수동적으로 받아들여 능동적인 학습을 하지 않을 수 있다.→ 산파법과 관련지을 수 있다.

 

교수학적 상황 4단계

 

1. 행동상황 : 수학적 개념을 암묵적으로 사용하는 상황 ( 원형 수학적 개념이 발달된 상황)

 

2. 형식화 상황 : 수학적 개념을 의식하고 표현하는 상황 ( 의사 수학적 개념이 발달된 상황)

 

3. 타당화 상황 : 형식적으로 표현된 수학적 개념의 타당성을 입증하는 상황 ( 이론 수학적 개념이 발달된 상황)

 

4. 제도화 상황 : 교사가 개입해 학생들이 구성한 개념을 공인하고 정리하여 이전 지식과 관련지어주는 상황

 

수학 개념의 발달

 

1. 원형 수학적 개념 : 무의식적이고 암묵적으로 문제해결에 사용되는 수학적 관념의 상태

 , 학생이 개념을 인식하지 못함.

 

2. 의사 수학적 개념 : 암묵적으로 사용되던 수학적 개념이 의식적으로 문제해결의 도구로 사용됨

 , 의미를 중심으로 활용되는 정도에 그쳐 학습자의 인지구조에 조직되어 정착되지는 않은 상태

 , 학생들은 개념을 나타낼 때 비형식적이고 친숙한 용어나 기호를 사용한다.

 

3. ( 이론 ) 수학적 개념 : 개념이 형식적인 형태로 인지구조에 조직된 상태

, 개념 자체가 완전히 대상화되어 다음 학습을 위한 분석의 대상이 될 수도 있는 상태

 

개인화/ 배경화, 탈개인화/탈배경화

1. 개인화/ 배경화

: 사고자가 자신의 특정한 배경 속에서 자신만의 방법으로 지식을 이해하는 것

, 개인에게 의미있는 지식이 형성되는 과정

 

2. 탈 개인화/ 탈 배경화

: 사고자가 지식을 이해하는 데 사용한 개인적 사고 과정이나 특정한 배경을 숨기면서 학습한 지식을 형식적으로 표현하는 것

, 확장된 지식이 형식적으로 인정된 형태로 정돈되는 과정

 

극단적 교수현상

1. 메타인지이동

: 개인화/ 배경화를 지나치게 강조한 결과로 나타나는 교수현상

, 개인화/ 배경화 과정을 용이하게 하기 위해 도입된 교수학적 보조수단에 학생들의 사고가 집중되는 현상

 

2. 형식적 고착

: 개인화/ 배경화를 간과한 결과로 나타나는 교수현상

, 수학 지식의 형식적 측면만을 연습시키는 것

, 일반화된 공식을 제시하고 그 공식의 이해 보다는 공식을 익숙하게 사용할 수 있도록 연습하는 데에 중점을 두는 현상

 

→ 탈 개인화/ 탈 배경화 과정에서 발생할 수 있는 혼란을 줄여줄 수는 있지만 사고실험이나 귀납적 탐구 활동의 결과로 형성될 수 있는 수학 지식의 본질을 이해하는데는 장애가 될 수 있다.

 

3. 토파즈식 외면치레

 : 탈개인화/ 탈배경화를 지나치게 강조한 결과로 나타나는 교수현상

 , 교수학적 계약에 의한 압박에 의해 교사가 학생이 학습할 환경을 제거하는 현상 (by 지나치게 구체적인 힌트)

 

4. 조르단식 외면치레

 : 탈개인화/ 탈배경화를 간과한 결과로 나타나는 교수현상

 , 학생의 사소한 행동을 과대평가하여 학생이 특정 지식을 형성했다고 잘못 판단하는 것

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인식론적 장애

 

0. 인지적 장애의 종류와 근원

 (1) 개체 발생적 근원 : 개념이미지가 개념의 정의와 갈등을 일으켜 수학 학습을 방해하는 장애가 되는 것

 (2) 교수학적 근원 : 교육체제, 교육과정 내에서 교수 · 학습 내용 및 방법을 선택하거나 수업에 반영할 때 나타나는 장애 → 수학개념을 다른 개념에 비유, 은유하여 설명할 때 발생

 (3) 인식론적 근원 : 특정 맥락에서는 성공적이고 유용한 지식으로서 인지구조의 일부가 되어 있지만 새로운 문제상황이나 더 넓어진 문맥에서는 부적합해진 지식을 의미 (=인식론적 장애)

 

 

 

1. 개념 : 특정 맥락에서는 유용하고 성공적인 지식으로서 인지구조의 일부가 되어 있던 지식이 새로운 문제 상황이나 더 넓어진 맥락에서는 부적합해지는 것

 

 

 

2. 인식론적 장애 형성에 영향을 주는 요인

 

 (1) 일상어 : 자생적 관념인 용어의 일상적 의미가 수학적 개념과 뒤섞여서 부적합한 개념 이미지를 형성하여 인지적 장애로서 작용하게 된다.

 

  ● 자생적 관념 : 교사의 지도 이전에 학습자가 가지고 있는 일상생활을 통한 경험에서 오는 많은 생각

  ● 개념 이미지 : 개념과 정신적으로 관련된 성질, 심상들로 구성된 인지구조

  ● 개념 정의 : 개념의 정확한 언어적 정의

 

 (2) 직관 : 주관적, 경험적으로 확실하고 모순이 없는 아이디어

 

  ● 이차 직관의 형성 : 수학에서 개념의 존재성을 인정할 때에는 논리적 무모순성이 기준이 됨을 알게하여 형식적 수학의 가치를 알게 하는 것  

 

 (3) 일반화 : 작은 집합 위에서 성립하던 성질이 더 넓은 집합 위에서 성립한다고 가정하는 것

 

 (4) 은유 : 수학 개념을 다른 개념에 은유하여 설명하는 것은 학생의 이해를 도울 수도 있지만 개념과 관련되지 않는 부분이 함께 학습되거나 일부 내용이 지도되지 않아 후속 개념의 이해에 장애로 작동할 수 있다.

 

 

 

학교수학에서 접선 개념 지도에 다른 인식론적 장애 예

 

1. 접선 개념의 다중성

기하적 접선 개념	함수적 접선 개념
개념1 : 곡선과 한 점에서 만나는 직선   (반례 :  삼차함수의 접선 → 두 점에서 만나지만 접선이된다.  , y = x^2 과 x=1직선 → 한 점에서 만나지만 접선이 아니다.) 개념2 : 곡선과 스치며 만나는 직선  ( 반례 : y = ∣x ∣ 와 y = 1/2x → 한 점에서 스치며 만나지만 접선이 아니다.)	개념1 : 직선의 방정식과 곡선의 방정식을 연립하여 얻은 x에 대한 방정식이 중근을 갖는 곡선
개념3 : 할선의 극한	개념2 : 곡선 위의 한 점을 지나며, 기울기가 그 점에서의 미분계수와 같은 직선

 

 

2. 지도방안

  : 학교수학에서 개념 도입 시 개념과 관련된 모든 맥락이나 일반적인 맥락을 제시하지 못하고 불가피하게 제한된 맥락에서 도입하게 된다. 따라서 원의 접선에서 형성한 개념이 이후의 다양한 형태의 접선에서 인식론적 장애를 겪게 된다. 따라서 반례의 출현으로 초기의 접선 개념을 계속 수정하여 할선의 극한으로서의 접선 개념을 학습하도록 지도해야한다.